XLII. Ueber eine neue Einrichtung der Zahn- oder Zapfen-Räder. Von Herrn Jakob White, Maschinisten. Aus den Memoirs of the Literary et Philosophical Society of Manchester. Im Repertory of Arts, Manufactures et Agriculture. N. CCXXXVII. Februar 1822. S. 142.Herr White hat auf diese Erfindung schon im Jahr 1788 ein Patent genommen. A. d. O. Obschon diese Abhandlung mehr theoretisch als praktisch zu seyn scheint, so glaubten wir doch unseren Lesern dieselbe nicht vorenthalten zu duͤrfen, um so weniger, als bei uns in Deutschland, zumal in dem Katholischen, das Studium der Mathematik theils zu sehr vernachlaͤssigt, theils zu schlecht betrieben wird. An vielen Lehranstalten sind die Lehrer der Mathematik noch heute zu Tage Leute, denen es mehr um Verfinsterung der Koͤpfe der Jugend als um Aufhellung derselben durch Foͤrderung des mathematischen Geistes zu thun ist. So bewies der Professor der Mathematik des Uebersezers, an einer uͤbrigens beruͤhmten Universitaͤt, durch a × b, daß Sonnen- und Mondesfinsterniß zugleich statt haben koͤnne. Wenn der Herr Professor gelehrt haͤtte: man soll dieß glauben; so koͤnnte man ihn entschuldigen; da er es aber bewiesen hat, so laͤßt sich nichts anderes dagegen bemerken, als daß dieser Professor einer Secte angehoͤrte die einen Ruhm darein sezte, alles zu beweisen und alles zu laͤugnen. A. d. Ueb. Mit Abbildungen auf Tab. VII. White über eine neue Einrichtung der Zahn- oder Zapfenräder. Um sich von der Wichtigkeit des Gegenstandes dieser Abhandlung zu uͤberzeugen, darf man nur die ungeheuere Anzahl von Zahnraͤdern bedenken, welche in einer so bevoͤlkere ten und gewerbfleißigen Gegend, wie jene von Manchester, taͤglich im Umlaufe sind, und den Antheil, welchen diese Raͤder an der Menge und an dem Werthe der Erzeugnisse dieser Gegend haben; es wird dann einleuchtend seyn, daß jede Erfindung, welche dahin abzielt, diese Instrumente zu vervollkommnen, sey es nun, daß sie dadurch wohlfeiler wuͤrden, oder laͤnger dauerten, oder daß auch nur ihre Reibung dadurch vermindert wuͤrde, einen wohlthaͤtigen Einfluß auf das allgemeine Beste haben muͤsse. Ich hoffe, daß alle diese Zweke in einem mehr oder minder hohen Grade durch Raͤder, welche nach dem gegenwaͤrtigen neuen Systeme erbaut sind, erreicht werden koͤnnen. Ich will mich nicht damit begnuͤgen, diese Behauptungen bloß theoretisch zu erweisen, sondern ich uͤbersende der Gesellschaft zugleich hier Raͤder, welche die Eigenschaft besizen, einander in der vollkommensten Stille umzudrehen, indem die Reibung und Abnuzung ihrer Zaͤhne, wenn ja eine solche an denselben statt hat, so gering ist, daß man dieselbe gar nicht berechnen kann, und welche, ohne alles Stoßen, bloß durch staͤten und gleichfoͤrmigen Druk, einander die bekanntlich groͤßte Geschwindigkeit mitzutheilen vermoͤgen. Ehe ich zur Beschreibung meiner eigenen Raͤder uͤbergehe, will ich auf einen auffallenden Fehler der gegenwaͤrtig gebraͤuchlichen Raͤder aufmerksam machen, ohneobne uͤbrigens bis zu jener Periode zuruͤk hinaufzusteigen, wo alle mechanischen Werkzeuge und Operationen noch tief unter denjenigen standen, deren man sich heute zu Tage bedient. Praktische Mechaniker der neueren Zeiten sind, zufaͤllig, und vorzuͤglich in Großbritannien, auf brauchbarere Formen und Verhaͤltnisse der Raͤder gekommen, als man ehevor nicht kannte, waͤhrend die theoretischen Mechaniker, von de la Hire an, (d.i. seit ungefaͤhr 100 Jahren) einstimmig lehrten, daß die beste Form der Zaͤhne eines Rades von jener krummen Linie abhaͤngt, die man Epikykloide nennt, und daß die Zaͤhne, welche an einem geraden Zahnstoke wirken sollen, von der Form einer einfachen Kykloide abgeleitet werden muͤssen. Diese Kykloide kann man sich als eine krumme denken, welche von der Bahn gebildet wird, die der Nagel an dem Umfange eines Wagenrades waͤhrend der Umdrehung dieses Rades, oder von dem Augenblike, wo dieser Nagel den Boden verlaͤßt, bis zu dem Augenblike, wo er wieder auf denselben zuruͤkkehrt, durchlaͤuft: die Epikykloide ist eine Krumme, welche von der Bahne eines Nagels in dem Umfange eines Rades gebildet wird, welches (ohne zu Schleifen) uͤber den Umfang eines anderen Rades wegrollt. Es sey AB in Fig. 21. Tab. VII. ein Theil des Umfanges eines Rades ABF, auf welches Zaͤhne aufgesezt werden sollen, die so gebildet sind, daß sie in dem Rade C eine gleichfoͤrmige Bewegung erzeugen, wenn die Bewegung des Rades ABF gleichfalls gleichfoͤrmig ist. Man lasse ferner diese so gebildeten Zaͤhne auf die unbestimmt kleinen Stifte r, i, t, welche in die Flache des Rades C nahe an dem Umfange desselben eingelassen sind, einwirken. Um den Zaͤhnen des Rades ABF (nach der gegenwaͤrtig herrschenden Methode) eine geeignete Form zu geben, befestigt man einen Griffel oder Pinsel an dem Umfange eines Kreises D, welcher dem Rade C gleich ist, und legt ein Papier hinter beide Kreise, auf welchem durch Umdrehen des Kreises D auf AB die Epikykloide d, e, f, g, s, h gezeichnet werden wird, deren Basis, wie man sagt, ABF ist, und deren Erzeugungskreis D ist. So ist also das Rad, welchem die Zaͤhne angehoͤren sollen, die Basis der Krummen, und das Rad, auf welches eingewirkt werden soll, ist der Erzeugungskreis. Man muß jedoch bemerken, daß diese Raͤder in dieser Beschreibung nicht nach ihrem aͤußersten Durchmesser betrachtet werden, sondern in einer solchen Entfernung von ihrem Umfange, daß die Zaͤhne gehoͤrig eingreifen koͤnnen; oder, wie Hr. Camus sagt, wo die urspruͤnglichen Kreise der Raͤder (les cercles primitifs) einander beruͤhren, d.h. in unserer (englischen) Landessprache in der Eingriffs-Linie (pitch-line). Da nun die Mathematiker laͤngst erwiesen haben, daß Zaͤhne, welche auf obige Weise gebildet sind, den Raͤdern, vorausgesezt, daß die Stifte r, i, t etc. unbestimmbar klein sind, eine gleichfoͤrmige Bewegung ertheilen, so ist es nicht noͤthig, bei diesem Punkte noch laͤnger zu verweilen. In dieser Hinsicht waͤre man also mit der Theorie im Reinen. Allein in der Praxis muͤssen die Stifte r, i, t etc., welche in der Theorie unbestimmbar klein angenommen werden, doch auch Staͤrke besizen, und folglich einen bedeutenden Durchmesser haben, wie sie in 1, und 2, dargestellt sind. Wir muͤssen daher von der Flaͤche der Krummen eine Breite, wie v und n = dem halben Durchmesser der Stifte wegnehmen, und dann wird, wie zuvor, wieder gleichfoͤrmige Bewegung statt haben. Die Mathematiker wissen aber, daß eine auf diese Art veraͤnderte Krumme nicht mehr in aller Strenge eine Epikykloide genannt werden kann, und daher sagte ich oben, daß die Zaͤhne der Raͤder, welche eine gleichfoͤrmige Bewegung erzeugen sollen, von dieser Krummen abhaͤngen oder abgeleitet werden muͤssen: denn, waͤre die krumme Linie der Zaͤhne eine aͤchte Epikykloide, so wuͤrde, so bald die Stifte dik sind, die Bewegung nicht mehr gleichfoͤrmig seyn. Ich uͤbergehe hier absichtlich mehrere interessante Umstaͤnde bei der Anwendung dieser schoͤnen Krummen auf die Radbewegung, und ich gebe zu, daß diese Krumme im Stande ist gleichfoͤrmige Bewegung zu erzeugen, wenn die Zaͤhne der gewoͤhnlichen Raͤderwerke nach dieser Form gebaut sind. Allein gerade darin liegt das große Ungluͤk: – abgesehen von der Schwierigkeit die Zaͤhne nach dieser rein theoretischen Form zu bilden (was selten versucht wird) kann diese Form auch nicht lang fortbestehen: und daher kommt es, daß die besten, die stillsten Raͤder endlich fehlerhaft werden, zu klappern anfangen, die Maschine verderben, und sie vorzuͤglich zu feineren Operationen untauglich machen. Die Ursache dieses fortschreitenden Verderbens kann auf folgende Weise erklaͤrt werden: wir sehen, um wieder auf die 21. Fig. zuruͤkzukommen, die Basis der Krummen AB in die gleichen Theile ab, bc und cd getheilt, und wenn wir den Gang des Erzeugungskreises D von dem Ursprunge der Krummen bei d bis zur ersten Abtheilung an der Basis, c, betrachten, so finden wir nicht mehr als erst den kleinen Theil de der Krummen entwikelt, waͤhrend ein zweiter gleich großer Schritt des Erzeugungskreises, cb, die Krumme von e bis f, durch eine weit groͤßere Streke als bei dem ersten Schritte, weiter fuͤhrt; ein dritter, gleich großer, Schritt ab wird die Krumme von f bis g ausdehnen, wieder weiter als bei dem vorigen Schritte, und so werden alle die folgenden Entwikelungen der Krummen immer groͤßer werden, bis diese ihren Scheitelpunkt erreicht hat. Nun korrespondiren aber alle diese Theile mit gleichen Umdrehungen des Rades, naͤmlich mit den gleichen Theilen ab, bc und cd der Basis und mit gleichen Umdrehungen des erzeugenden Kreises. Nothwendig muͤssen daher die Theile sg, gf der epikykloidischen Zaͤhne fruͤher abgenuͤzt werden, als die Theile fe und ed, welche, wenn auch der Druk auf sie derselbe waͤre, mit so viel weniger Geschwindigkeit gerieben werden, als sie kleiner sind als die anderen. Allein der Druk ist nicht derselbe. Denn die Linie ag ist die Richtungslinie, in welcher der Druk der Krummen auf den Punkt g wirkt, und die Linie pq ist die Laͤnge des Hebelarmes, auf welchen dieser Druk wirkt, um den Erzeugungskreis um seine Achse zu drehen, die man sich jezt als feststehend denkt. Da aber die drehende Kraft oder die Kraft bei dem Umdrehen der Raͤder als gleichfoͤrmig angenommen wird, so muß der Druk bei g sich umgekehrt wie pq verhalten; d.i. umgekehrt wie der Cosinus des halben Rotations-Winkels des Erzeugungs-Kreises; er muß also bei s, wo die Krumme ihren Scheitelpunkt erreicht und dieser Kreis seine halbe Umdrehung vollendet hat, unendlich seyn. Es ist also klar, daß, abgesehen von den Wirkungen des Stoßes, das Ende eines Epikykloidal-Zahnes sich fruͤher abnuͤzen muß als jeder andere naͤher an der Basis desselben gelegene Theil (und wenn dieß hier so der Fall ist, so darf man annehmen, daß es weit mehr noch bei Zaͤhnen von anderer Form eben so seyn wird), und daß, wenn also seine Form sich auf diese Weise geaͤndert hat, der Vortheil den er gewaͤhrt, aufhoͤren muß, weil nichts in der Folge mehr waͤhrend das Rad fort arbeitet, in Stande ist die vorige Form wieder herzustellen, oder dem immer zunehmenden Uebel abzuhelfen. Nachdem ich nun einen großen Fehler an dem gewoͤhnlichen Raͤder-Systeme dargethan habe, will ich die Grundsaͤze des neuen Systemes entwikeln, welches man aus folgenden drei Saͤzen einsehen wird: 1. Die Wirkung eines Rades nach der neuen Art auf ein anderes, in welches dasselbe eingreift, oder mit welchem es sich dreht, ist in jedem Augenblike der Umdrehung des Rades dieselbe, so daß die moͤglich kleinste Bewegung des Umfanges des einen eine vollkommen gleiche und aͤhnliche Bewegung in dem anderen erzeugt. 2. Es gibt bloß zwei Punkte, einen in jedem Rade, welche sich nothwendig gleichzeitig wechselweise beruͤhren, und ihr Beruͤhrungspunkt wird stets unbestimmbar nahe an jener Ebene liegen, welche durch die beiden Achsen der Raͤder laͤuft, wenn die Durchmesser der lezteren an dem Nuz- oder Drukpunkte in genauem Verhaͤltnisse ihrer respektiven Anzahl der Zaͤhne stehen: in diesem Falle wird keine merkliche Reibung zwischen den Beruͤhrungspunkten statt haben. 3. In Folge der oben erwaͤhnten Eigenschaften wird weder die Epikykloidal noch irgend eine andere Form der Zaͤhne ausschließlich mehr noͤthig seyn, sondern es koͤnnen mehrere verschiedene Formen ohne alle Stoͤrung des Grundsazes der gleichfoͤrmigen Bewegung angewendet werden. Um den ersten dieser Saͤze zu beweisen, muß ich eine Bemerkung des Hrn. Camus uͤber diesen Gegenstand aus dem 3. Theil S. 306. seiner Mechanik vorausschiken, wo er sagt: „wenn alle Raͤder unendlich kleine Zaͤhne haben koͤnnten, so wuͤrde ihr Eingreifen, das man dann als bloße Beruͤhrung betrachten koͤnnte, die erforderliche Eigenschaft besizen (d.h., gleichfoͤrmig zu wirken) indem wir gesehen haben, daß ein Rad und ein Triebstok dieselbe Tangential-Kraft besizt, wenn die Bewegung des einen dem anderen durch ein unendlich kleines Eindringen der Theilchen ihrer respektiven Umfange mitgetheilt wird.“ Man nehme nun an, daß auf der cylindrischen Oberflaͤche eines Spornrades Bc, Fig. 23., wir schiefe oder vielmehr schraubenfoͤrmige Zaͤhne einschneiden, von welchen in ac und bd zwei dargestellt, und so gegen die Flaͤche des Rades geneigt sind, daß das Ende c des Zahnes ac nicht uͤber die Flaͤche der Achsen ABc reicht, bis nicht das Ende b des anderen Zahnes bd dieselbe erreicht hat, so wird dieses Rad der Idee nach in eine unendliche Anzahl von Zaͤhnen getheilt seyn, oder wenigstens in eine groͤßere Anzahl, als die Zahl der Theile der Materie, welche sich in einer Kreislinie von dem Umfange des Rades befindet. Denn man denke sich die Oberflaͤche eines aͤhnlichen, aber laͤngeren, Cylinders von demselben abgezogen, und auf der Flaͤche ABCE, Fig. 24., ausgebreitet, wo die vorige schiefe Linie der Hypothenuse BC des rechtwinkeligen Dreiekes CAB wird, und alle Zaͤhne des gegebenen Rades darstellt nach der Skizze EG am Grunde der Figur. Hier sind die Linien AB und CE gleich dem Umfange der Basis des Cylinders, und AC und BE gleich seiner Laͤnge; und wenn zwischen A und B eine Anzahl von Theilen der Materie = m, und zwischen A und C eine Anzahl solcher Theile = n vorhanden ist, so wird die ganze Oberflaͤche ABCE von diesen Theilen m, n, oder das Produkt von m und n enthalten; die Linie BC wird aber, einem bekannten Lehrsaze zu Folge, eine Zahl = √(m² + n) enthalten; woraus erhaͤllt, daß die Linie BC nothwendig laͤnger ist, als AB, und folglich mehr Theilchen der Materie in sich begreiftEs ist kaum noͤthig zu bemerken, daß, was immer von dem ganzen Dreieke CAB, Fig. 24. gilt, auch von jedem aͤhnlichen Theile desselben wahr ist, und sey er auch noch so klein. Nehmen wir daher an, daß die Hypothenuse BC wieder auf dem Cylinder aufgerollt wird, von welchem wir sie abgestreift dachten, so wird der wirkende Theil wirklich sehr klein seyn, aber immer auf die hier beschriebene Weise wirken, und dem Rade, auf welches er wirkt, und seiner Achse genau im Verhaͤltnisse der hier erwaͤhnten Groͤße eine gewisse Tendenz mittheilen. A. d. O.. Es ist uͤberdieß offenbar, daß der Unterschied zwischen den Linien BC und AB von dem Winkel ACB abhaͤngt, der von bedeutend verschiedener Weite gewaͤhlt werden kann. Zum gewoͤhnlichen Gebrauche habe ich jedoch einen Winkel von 15° gewaͤhlt, welchen ich jezt als Basis der folgenden Berechnungen annehmen will. Die Tangente von 15° ist, nach den Tafeln, in runden Zahlen 268, wo der Radius 1000 ist; man soll nun die Zahl der Theile in der schiefen Linie BC finden, wenn die Linie AB irgend eine andere Zahl t enthaͤlt. Aus der Geometrie ist BC (x) = √(r² + t²) = √(1000² + 268²) = 1035 ungefaͤhr; und diese lezte Zahl verhaͤlt sich zu 265, wie die Zahl der Theilchen in der schiefen Linie BC zu der Zahl der in dem Umfange AB der Basis des Cylinders enthaltenen. Hieraus erhellt, daß ein Rad, welches in Zaͤhne von dieser Form eingeschnitten ist, in der Idee ungefaͤhr viermal so viel Zaͤhne enthaͤlt, als ein Rad von gleichem Durchmesser, aber unbestimmt duͤnn, enthalten wuͤrde. Dieses Verhaͤltniß ließe sich noch vergroͤßern, wenn man einen kleineren Winkel annaͤhme. So waͤre nun, wie ich glaube, erwiesen, daß die Wirkung eines Rades dieser Art auf ein anderes, in welches dasselbe eingreift, in Hinsicht auf Schnelligkeit vollkommen gleichfoͤrmig ist, und daher ist es auch erwiesen, daß eben dieß von der mitgetheilten Staͤrke gilt. Ehe ich zu dem zweiten Saze uͤbergehe, muß ich vielleicht einigen Einwuͤrfen begegnen, welche gegen dieses System von Raͤdern gemacht wurden, und die vielleicht einigen Lesern bereits selbst aufgefallen sind. Man hat, z.B. behauptet, daß die Reibung dieser Zaͤhne durch ihre Neigung gegen die Ebene des Rades vermehrt wird; ich darf aber wohl annehmen, daß ich bewiesen habe, daß es gerade diese schiefe Stellung, verbunden mit der gaͤnzlichen Abwesenheit einer Bewegung nach der Richtung der Achsen ist, welche diese Reibung gaͤnzlich aufhebt, statt daß sie dieselbe erzeugte. Ich gestehe indessen, daß der Druk auf die Beruͤhrungspunkte groͤßer ist als er es auf Zaͤhne, die mit der Achse der Raͤder parallel laufen, nicht seyn wuͤrde, und ich gebe ferner zu, daß dieser Druk strebt die Raͤder in der Richtung ihrer Achse aus ihrer Stelle zu schieben (außer wenn der Zahn zwei entgegengesezte Neigungen hat, wodurch dieses Streben aufgehoben wird). Wir wollen aber diese Gegenwirkung uns als vernachlaͤssigt denken, und die Wichtigkeit dieser Einwuͤrfe pruͤfen. Was nun zuvoͤrderst den Druk auf den Punkt D in der Linie BC (welche den in Frage stehenden schiefen Zahn ausdruͤkt) verglichen mit jenem auf die Linie BE betrifft, (welche einen Zahn eines gewoͤhnlichen Rades darstellt) so ziehe man die Linie AD senkrecht auf BC. Wenn der Punkt D frey uͤber die Linie BC hingleiten kann (und dieß ist die guͤnstigste Annahme fuͤr die Gegner) so wird sein Druk senkrecht auf diese Linie geschehen; und wenn der Punkt A sich von A nach B bewegt, so wird der Punkt D, der in demselben Augenblike den Punkt A verlaͤßt und sich in der Richtung AD bewegt, waͤhrend derselben Zeit nur nach D gelangen, indem seine Bewegung in dem Verhaͤltnisse von AB zu AD langsamer als jene von A war; daher ist, nach dem Grundsaze der virtualen Geschwindigkeiten, sein Druk auf BC zu jenem auf AC, wie die besagten Linien AB zu DA. Um diese Druke in Zahlen darzustellen, wird, nach obigen Daten, AC = 1000, AB = 263, BC = 1035, und aus der Aehnlichkeit der Dreieke BAC, BDA, wird BC : AC : : AB : AD = 268000/1035 = 259 ungefaͤhr. Der Druk auf BC verhaͤlt sich also zu jenem auf AC wie 268 zu 259, oder wie 1035 : 1000. Um den Theil der Kraft zu finden, welcher den Punkt B in der Richtung BE zu bewegen strebt, d.h., die Kraft, welche die Raͤder in der Richtung ihrer Achsen treibt, koͤnnen wir das Dreiek BAC als eine schiefe Flaͤche betrachten, von welcher BC die Laͤnge, und AB die Hoͤhe ist, und der ganze Druk auf CB, welcher durch CB (1035) ausgedruͤkt werden kann, kann in zwei andere, naͤmlich in AB und AC aufgeloͤst werden, welche die respektiven Druke auf diese Linien (268 und 1000) ausdruͤken. Der Druk auf BC wird also bloß in dem Verhaͤltnisse von 1035 zu 1000, oder um ungefaͤhr 1/29 durch die Schiefe vermehrt, und das Streben der Raͤder; sich in der Richtung ihrer Achse zu bewegen, ist, bei dem gegenwaͤrtigen Winkel, das 268/1000 urspruͤnglichen Kraft, d.i., etwas mehr als ein Viertel. Da aber der Laͤngenbewegung einer Achse durch einen beinahe unsichtbaren Punkt, den man in ihrem Mittelpunkte anbringt, vorgebeugt werden kann, so folgt, daß die Wirkung dieses Strebens beinahe gaͤnzlich aufgehoben werden kann, und dieß ohne merklichen Verlust der wirkenden Kraft. Man darf noch hinzufuͤgen, daß, bei vertikalen Achsen, diese Umstaͤnde beinahe ihre ganze Wichtigkeit verlieren, indem jede Kraft, welche die eine niederzudruͤken und ihre Reibung zu vermehren strebt, ebenso sehr die andere zu heben und ihren Gang von ihrer Last zu befreyen strebt; ein Fall, dessen man sich mit ausgezeichnetem Vortheile bedienen kann um einen groͤßeren Druk auf die langsam laufenden Achsen zu bringen, waͤhrend man denselben von den schnelleren weg nimmt. Wir gehen nun zu dem zweiten Saze. Die Wahrheit der in demselben enthaltenen Behauptungen muß, wie ich wohl voraussezen darf, einleuchtend seyn, wenn man nur zwei Kreise betrachtet, die sich wechselweise beruͤhren und an dem Punkte ihrer Beruͤhrung mit ihrer gemeinschaftlichen Tangente zusammentreffen. Es seyen A und B zwei solche Kreise (Fig. 23.), welche einander in e beruͤhren. AC ist die Linie, welche ihre Mittelpunkte verbindet, und DF die gemeinschaftliche Tangente derselben fuͤr den Punkt e. Sie bildet einen rechten Winkel mit AC, und so auch die Umkreise der beiden Kreise auf dem Punkte e: denn Kreise und Tangenten fallen fuͤr einen Augenblik uͤber einander. Hieraus schließe ich: 1tens, daß eine (bis zum Verschwinden kleine) Bewegung des gemeinschaftlichen Punktes dieser drei Linien statt haben koͤnne, ohne deßwegen die Tangente DF nur einen Augenblik zu verlassen; und 2tens daß, wenn eine unendliche Menge von Zaͤhnen an diesen Kreisen ist; diejenigen Zaͤhne, welche sich in der Linie der Mittelpunkte finden, vorzugsweise besser in einander eingreifen werden, als jene, die außer dieser Linie gelegen sind, weil leztere die gemeinschaftliche Tangente und noch einen Zwischenraum zwischen sich haben. Die Wahrheit dieses Sazes (oder wenigstens eine unbestimmbare Annaͤherung zur Wahrheit) laͤßt sich aus der Annahme herleiten, daß die beiden Kreise wirklich einander durchdringen. In dieser Hinsicht seyen AB und ab in Fig. 25. zwei gleiche Kreise, welche parallel gegen einander in zwei sich beruͤhrenden Ebenen liegen, so daß der eine den anderen in dem unbestimmbar kleinen krummlinigen Raume defg dekt. Ich sage nun, daß, wenn der Bogen dg unbestimmbar klein ist, die Umdrehung der beiden Kreise nicht mehr Reibung zwischen den beiden sich beruͤhrenden Flaͤchen gef und fdg erzeugt, als dann zwischen den beiden Kreisen selbst statt haben wuͤrde, wann sie in einer und derselben Ebene laͤgen und sich in dem Punkte n ihrer gemeinschaftlichen Tangente beruͤhrten. Denn, man ziehe die Linien DE, fd, dg, gf, ge, und gD, und in Hinsicht auf die bekannte Gleichung des Kreises, sey dn = x, gn = y und Dg = a, Abscisse, Ordinate und Halbmesser des Kreises; so wird 2ax – x² = y². Aus dieser Gleichung wird a = (y² + x²)/2x, wo der Nenner dieses Bruches, 2x, die Breite de ist, in welcher die beiden Flaͤchen der zwei Kreise fdg und feg sich beruͤhren. Der Zaͤhler, (y² + x²) ist gleich dem Quadrate der Sehne gd des Winkels EDg, welche Sehne ich z nenne. So wird a = z²/2x; und aus dieser Gleichung entsteht die Proportion: a : z : : z : 2x = z²/a. Bei sehr kleinen Winkeln kann man aber ohne merklichen Irrthum die Sinusse fuͤr die Bogen nehmen; folglich mit noch weit mehr Grund die Sehnen; nehmen wir also den Bogen dg oder die Sehne z unbestimmbar klein, so wird de = 2x = z²/a, oder unbestimmbar kleiner, d.h., um einen Grad in der Ordnung der Infinitesimalen niedriger: denn es ist allgemein bekannt, daß das Quadrat verschwindender Groͤßen unbestimmbar kleiner ist, als diese Groͤßen es selbst sind. Wollen wir nun dieß hier anwenden, so wird, wenn die Sehne z die Kreisentfernung zweier materiellen Theilchen in dem schraubenfoͤrmigen Zahne ac des Rades Bc Fig. 23. (in Hinsicht auf den Kreis ab in Fig. 25.) ausdruͤkt, diese Entfernung z die mittlere Proportionale zwischen dem Radius Dg eines solchen Rades und dem doppelten Sinus vergus dieses undenkbar kleinen Winkels seynIch haͤtte vielleicht dieses Raisonnement bei der 25. Fig. mit der Bemerkung beginnen sollen, daß jeder Entwurf eines Theiles einer Schraube auf einer Flaͤche, welche auf die Achse einer solchen Schraube unter einem rechten Winkel steht, ein Kreis ist; und daß folglich die Sehne z, oder die Linie gd der wahre Entwurf eines proportionalen Theiles irgend einer Linie BC, Fig. 24. ist, wenn sie um einen Cylinder von gleichem Durchmesser mit dem Kreise ab, Fig. 25. geschlagen wird. A. d. O.. Ich weiß, daß einige Mathematiker behaupten, daß auch der kleinste Theil einer krummen Linie nimmermehr genau auf eine gerade Linie fallen koͤnne: eine Lehre, welche ich nicht bestreiten will. Dem sey aber, wie ihm wolle, so ist es offenbar und gewiß, daß in der materiellen Welt keine solche mathematische Krumme vorhanden ist, und daß es nur Vieleke von einer groͤßeren oder geringeren Anzahl von Seiten gibt, je nachdem naͤmlich die Dichtigkeit der verschiedenen Substanzen, die unter unsere Sinne fallen, verschieden ist. Ich will daher fortfahren, die vorhergehende Theorie zwar nicht auf die lezten Theilchen der Materie (deren Dimensionen ich nicht kenne) sondern nur auf jene wirklichen Theilchen derselben anzuwenden, die man bereits gemessen hat. Man weiß durch Versuche, daß ein Wuͤrfel Gold von einem halben Zolle sich auf Silber zu einer Laͤnge von 1,442,623 Fuß ausdehnen laͤßt, und dann noch zu einer Breite von 1/100 Zoll geflaͤtscht werden kann. Rechnet man diese beiden Breiten zusammen, so gibt dieß 1/50 Zoll. Wenn wir daher obige Laͤnge durch 25 theilen, so erhalten wir die Laͤnge eines solchen Metallbandes von einem halben Zoll Breite, naͤmlich 47704 Fuß. Schneiden wir dieses Band in Laͤngen von einem halben Zoll (oder multipliciren wir mit 24, der Zahl der halben Zolle in einem Fuß) so erhalten wir 1,144,896 solche Quadrate, welche die Zahl der Blaͤtter in einem halbzoͤlligen Wuͤrfel Gold ausmachen muͤssen: fuͤr die Dike eines Zolles kommen deren 2,289,792. Wenn wir also ein Rad von Gold von 2 Fuß im Durchmesser annehmen und die Reibung der Zaͤhne desselben bestimmen wollen, muͤssen wir zuvoͤrderst die Zahl der Theilchen, die in den Zahnen enthalten sind, welche sich auf einem Zolle des Umfanges des Rades befinden, aufsuchen, und diese ist, wie wir so eben gesehen haben, 2,289,792 Blattdiken, oder Durchmesser der Theilchen, die wir jezt betrachten wollen. Wir haben also jezt das Verhaͤltniß, nach Fig. 24. 268 (AB) : 1035 (BC) : : 2,289,792 (der Zahl der Theilchen in einem Zolle Umfang der Basis): x = 8,843,040 Theilchen in jenem Theile die Linie BC, welche mit jenem Zolle des Umfanges korrespondirt. Auf diese Weise ist also jedes der lezteren in der Richtung AB gemessenen Theilchen gleich 1/8,843,040 Zoll. Nimmt man diesen Bruch fuͤr den Bogen gd, Fig. 25., und will man hieraus die Laͤnge der Linie de (von welcher die Reibung dieses Zahnes so wie aller uͤbrigen abhaͤngt) finden, so muͤssen wir uns folgender Analogie bedienen; 12 Zoll (der Halbmesser des Rades) : 1/8,843,040 Zoll (der Sehne gd) : : 1/8,843,040 Zoll (gd): de oder der gesuchten Linie = 1/938,392,277,299,200 Zoll. Dieses Resultat ist noch immer von der Wahrheit entfernt, da wir nicht wissen koͤnnen, um wie viel die lezten Molekuͤln des Goldes noch kleiner sind. Um nun auf einige Einfluͤsse dieses Systemes auf die Praxis aufmerksam zu machen, will ich mir erlauben eine Form von Zaͤhnen vorzulegen, deren Spiel allein schon ein hinlaͤnglicher Beweis der Wahrheit der vorausgeschikten Theorie seyn wird. A und B sind zwei Raͤder (Fig. 26.) deren urspruͤngliche Kreise oder Eingriffs-Linie einander bei o beruͤhren. Da alle homologen Punkte eines schraubenfoͤrmigen Zahnes sich in gleicher Entfernung von den Mittelpunkten der Raͤder befinden, so darf ich den Zaͤhnen auch eine rhomboidale Form geben, oti; und wenn der Winkel o rings um beide Raͤder derselbe ist, (wovon ich bei DG durch Aufriß eine Idee zu geben versuchteDer Uebersezer findet nur D, kein DG im Orig. A. d. Ueb.), so werden in diesem Falle nur diejenigen Theile, welche sich in der Ebene der Tangente fh befinden, und unendlich nahe an der Ebene, welche unter einem rechten Winkel durch die Mittelpunkte A und B auf dieselben laͤuft, einander beruͤhren, und dort hat, wie wir bereits erwiesen haben, keine merkliche Bewegung oder etwas, was Reibung erzeugen koͤnnte, zwischen den sich wirklich beruͤhrenden Punkten statt. Ich moͤchte noch, wie die Figur auch offenbar zeigt, hinzusezen, daß, wenn irgend eine solche Bewegung statt haͤtte, die Winkel o einander verlassen und diese Form von Zaͤhnen in der Anwendung ungereimt werden wuͤrde, und daß im Gegentheile wenn solche Zaͤhne wirklich und mit Nuzen in der Praxis vorkommen (was ich behaupten kann; haben ja sogar alle Zaͤhne in diesem Systeme eine Tendenz, diese Form an ihren wirkenden Punkten anzunehmen) dieser Umstand fuͤr sich selbst ein praktischer Beweis der Wahrheit der vorausgeschikten Theorie und desjenigen ist, was ich hieruͤber sagte. Man wird eingesehen haben, daß ich gewisser Massen dem Beweise meines dritten Sazes Vorgriff, naͤmlich, daß die epikykloidal Form oder irgend eine andere gegebene Form der Zaͤhne zu diesem Eingreifen nicht noͤthig ist. Es ist offenbar, daß Zaͤhne von einer Epikykloidalform durch ihr Arbeiten mehr convex werden muͤssen, indem die Basis der Krummen der einzige Punkt ist, wo sie durch Reibung keine Abnuzung erleiden; waͤhrend Zaͤhne von jeder anderen Form, wenn sie uͤber die urspruͤnglichen Kreise der Raͤder reichen, gleichfalls eine Figur dieser Art durch das Abrunden ihrer Spizen und das Aushoͤhlen der korrespondirenden Theile jener Zaͤhne, welche sie treiben annehmen werden; und diese Operation wird so lang fortwaͤhren, bis ein Winkel, der jenem bei o, Fig. 26. aͤhnlich ist, aber gewoͤhnlich etwas stumpfer ausfaͤllt, rings um beide Raͤder entsteht, wo dann alle merkliche Veraͤnderung von Form oder Verlust von Materie aufhoͤrt, wie die Raͤder, welche ich der Gesellschaft vorlege, beweisen: Rechts in der Zeichnung, Fig. 26.Im Originale unten. A. d. Ueb., sind die Zaͤhne des Rades B ekig (hier vierekig) und die des Rades C nach irgend einer Krummen s innerhalb einer Epikykloide abgerundet. Alles, was ich fuͤr diesen Fall zu bemerken habe, ist, daß die Zaͤhne in dem Rade B nicht uͤber ihren urspruͤnglichen Kreis reichen duͤrfen, waͤhrend die zugerundeten Theile der Zaͤhne des Rades C mehr oder minder uͤber ihre urspruͤnglichen Kreise reichen; woraus offenbar erhellt, daß der Beruͤhrungspunkt solcher Zaͤhne (wenn ihre Zahl unendlich ist) einzig und allein in der Ebene der gemeinschaftlichen Tangente unter rechten Winkeln auf AB faͤllt; ferner daß, wenn diese Zaͤhne hart genug sind um dem gewoͤhnlichen Druke zu widerstehen und ohne in einander unter diesen Umstaͤnden einzubeißen, kein Grund wahrzunehmen ist, warum die Form merklich geaͤndert werden sollte, indem diese Beruͤhrung nur dort statt hat, wo die beiden Bewegungen sowohl in Hinsicht auf Geschwindigkeit als Richtung einander gleich sind. Eine Thatsache, die ich jezt anfuͤhren will, kann vielleicht dieses Raͤsonnement bei einigen uͤberwiegen, aber gewiß nicht schwaͤchen. Ich ließ zwei dieser Raͤder, die aus Messing verfertigt wurden, mehrere Wochen lang unter einem bedeutenden Widerstande mit Schnelligkeit treiben, und hielt sie stets mit Oel und Schmergel, einer der verderblichsten Mischungen fuͤr Metalle, wenn sie damit gerieben werden, bestrichen; und nach diesem gewiß strengen Versuche fand ich die Zaͤhne dieser Raͤder, an ihren Ursprunglichen Kreisen, eben so ganz wie vor dem Versuche. Und warum? Gewiß aus keinem anderen Grunde, als weil sie ohne alle Reibung arbeiteten. Ich habe bisher nichts von Raͤdern in konischer Form gesprochen, die man bei uns Muͤzen und Senkungs-Triebwerke (mitre et bevel gur) nennt. Meine Modelle werden beweisen, daß ich sie in meinem Systeme eingeschlossen habe. Die einzige Bedingung bei dieser Einheit von Grundsaͤzen ist, daß die Achsen zweier Raͤder, statt parallel gegen einander zu stehen, immer in derselben Ebene liegen muͤssen. Unter dieser Bedingung hat jede oben erwaͤhnte Eigenschaft auch bei dieser Klasse von Raͤdern statt, welche meine Methode gleichfalls umfaßt, so wie sie uͤberhaupt alle moͤglichen Faͤlle von Getrieben in sich begreift. Um die Graͤnzen dieser Abhandlung nicht zu uͤberschreiten, habe ich einen Theil derselben unterdruͤkt und erlaube mir nur noch einige wenige Bemerkungen uͤber die Anwendung dieser Raͤder in praktischer Hinsicht. Ich habe sie bei verschiedenen wichtigen Maschinen anwenden gesehen, und fand, daß sie denselben Schnelligkeit, sanfte Bewegung und hohe Genauigkeit in dieser lezteren ertheilten. Ja sie leisteten noch mehr. Sie ließen nicht unbedeutende Maschinen entstehen, welche ohne sie nie an das Licht getreten seyn wuͤrden. Bei schnellen Bewegungen leisten sie, mit mathematischer Genauigkeit und großer Kraftersparung, alles was Schnur und Riemen leisten kann; Eigenschaften, die vorzuͤglich fuͤr Spinnereyen interessant seyn muͤssen, und fuͤr Calico-Drukereyen, deren zarte Operationen die groͤßte Genauigkeit in der Bewegung fordern. In der Uhrmacherey ist diese Eigenschaft von hoher Wichtigkeit um die Wirkung der Gewichte zu regeln, und der Kraft, welche Gleichfoͤrmigkeit erzeugen soll, sie mag worinn immer bestehen, vollkommen freyen Spielraum zu geben. Ja ich darf sagen, daß sie beinahe jede Ursache einer Anomalie vernichten, indem eine gegebene Uhr mit weniger dann einem Viertel des gewoͤhnlich gebrauchten Gewichtes gehen wird. In Flaͤtsch-Muͤhlen, wo eine Walze durch den Triebstok der anderen getrieben wird, ist die Platte, welche durch die Walzen durchlaufen soll, in staͤtem Kampfe mit dem gewoͤhnlichen Triebwerke, das mehr oder minder convulsivisch arbeitet: dadurch wird die Platte runzelig, und der Widerstand neuerdings vermehrt: diese Nachtheile fallen bei meinem Getriebe weg. Ich koͤnnte noch mehrere aͤhnliche Faͤlle anfuͤhren, schließe aber mit dem Wunsche, etwas zur Verbesserung und Vervollkommnung der Manufakturen dieser Gegend und zu dem Wohle meines geliebten Vaterlandes beigetragen zu haben.