Kritische Bemerkungen über die für Wasserheiz-Anlagen angewendeten Berechnungsmethoden; von Dr. Weiſs, o. ö. Professor an der technischen Hochschule in Brünn. Mit einer Abbildung. Weiſs, über die Berechnung von Wasserheizanlagen. Zur Berechnung der Heizfläche F einer Wasserheizungsanlage wird die einfache empirische Formel: F=\varepsilon J\mbox{ Quadratmeter} . . . . . . . . (1) verwendet, unter: J den Rauminhalt des zu beheizenden Locales in Cubikmeter, ε einen Coëfficienten, welcher je nach Umständen schätzungsweise zu 0,012 bis 0,04 angenommen wird, verstanden, oder es wird zu dem gleichen Zwecke die etwas genauere Formel: F=\varphi W\mbox{ Quadratmeter} . . . . . . . (2) benutzt, in welcher: W die von der Heizröhre stündlich abzugebende Wärmemenge in Calorien und φ einen Coëfficienten, d. i. die für jede stündlich zu transmittirende Wärmeeinheit erforderliche Heizflächengröſse in Quadratmeter bedeutet. Letzterer Coëfficient wird je nach dem System der mit ihm zu berechnenden Heizanlage und je nach Umständen zu 0,0003 bis 0,002 angenommen. Zur noch genaueren, die einschlagenden Verhältnisse eingehender berücksichtigenden Berechnung ist in Redtenbacher's „Maschinenbau“ und in Redtenbacher-Grashof's „Resultaten für den Maschinenbau“ die Formel: F=\frac{W}{k}\,\frac{log_n\,\frac{t_1-t}{t_0-t}}{t_1-t_0} . . . . . . . . (3) empfohlen, während Ferrini, Ferrini-Schröter und Valérius in ihren Werken „Tecnologia del calore“, „Technologie der Wärme“ und „Les applications de la chaleur“ 1879, zu dem gleichen Zwecke die Formel: F=\frac{W}{k}\,\frac{1}{\frac{t_1+t_0}{2}-t} . . . . . . . . (4) geben, worin bedeutet: k Transmissionscoëfficient, t1 Temperatur, mit welcher das Heizwasser der Röhre zuflieſst, t0 Temperatur, mit welcher das Heizwasser aus der Röhre abflieſst, t mittlere Temperatur des von der Heizröhre erwärmten Locales. Diese beiden Formeln, von denen nur (4) eine angenähert richtige ist, beziehen sich lediglich auf den Sonderfall einer Anbringung der Heizröhre frei im Locale derartig, daſs die Wärmetransmission vermöge der mittleren Temperaturdifferenz \frac{t_1+t_0}{2}-t von statten gehen kann. Dieser Sonderfall kommt bei den neuerdings ausgeführten Heizsystemen selten vor. Bei weitem häufiger wird die Heizröhre in schraubenartigen Windungen gebogen, von einer Ummantelung umschlossen, oder in einer auſserhalb des zu beheizenden Locales befindlichen und mittels Kanälen mit dem letzteren in Verbindung stehenden Heizkammer angebracht, und diesfalls sind obige Formeln grundsätzlich unrichtig. Auch ist die Specialisirung von (3), welche mit den Werthen t_1=80,\ t_0=40 und k=23,\ F=\frac{W}{990} und mit den Werthen t_1=150,\ t_0=50 und k=23,\ F=\frac{W}{1730} liefert, oft irrig aufgefaſst worden, und eine kritiklose Anwendung dieser Formeln, sowie der empirischen Berechnungsmethode (1) und (2) hat sogar zu sehr schwerwiegenden und kostspieligen Irrthümern verleitet, weshalb ich das Nachfolgende der Veröffentlichung werth erachte. Offenbar muſs im Falle eines Eingeschlossenseins der schraubenartig gewundenen Röhre, des Heizofens, in einer Heizkammer oder Ummantelung derartig, daſs an der Stelle, wo die Temperatur t0 im Wasser herrscht, die zu erwärmende Luft mit der Temperatur \frakfamily{T}_0 zuflieſst, und an der Stelle, wo die Temperatur t1 im Wasser herrscht, die erwärmte Luft mit der Temperatur \frakfamily{T}_1 wieder abströmt, gemäſs dem bekannten Principe der Gegenströmung anstatt der Formel (3) die Formel: F=\frac{W}{k}\,\frac{log_n\,\frac{t_1-\frakfamily{T}_1}{t_0-\frakfamily{T}_0}}{(t_1-\frakfamily{T}_1)-(t_0-\frakfamily{T}_0)} . . . . . . . . . (5) und anstatt der Formel (4) die Formel: F=\frac{W}{k}\,\frac{1}{1/2 (t_1+t_0)-1/2(\frakfamily{T}_1+\frakfamily{T}_0)}=\frac{W}{k}\,\frac{2}{t_1+t_0-\frakfamily{T}_1-\frakfamily{T}_0} . . . . . . (6) angewendet werden. Bedeutet nun aber: Wα die durch äuſsere Abkühlung aus dem Locale stündlich verschwindende, bezieh. die während des Anheizens in die Umschlieſsungswände zu leitende Wärmemenge, \frakfamily{V} das an der Heizschlange behufs seiner Erwärmung stündlich vorüberzuführende Luftvolumen in Cubikmeter, σ γ = 0,3 die specifische Wärme und das Gewicht der Volumeneinheit der Luft, c die secundliche Geschwindigkeit des die Heizröhre durchflieſsenden Wassers in Meter, q den lichten Querschnitt der Heizröhre in Quadratmeter, γ1 das Gewicht von 1cbm Wasser in Kilogramm, so ist für den Fall einer Verbindung der Beheizung mit der Ventilation derart, daſs die Ventilationsluft als Heizluft dient: W=0,3\,\frakfamily{V} (\frakfamily{T}1-\frakfamily{T}0)=W_{\alpha}+0,3\,\frakfamily{V} (t-\frakfamily{T}_0) . . . . (7) W=3600\,q\,c\,\gamma_1\,(t_1-t_0) . . . . . . . . . . . . . . . . . (8) Mit den Abkürzungen: M=3600\,q\,c\,\gamma_1 T=2\,t_1-t-\frakfamily{T}_0 \Theta=0,3\,(t-\frakfamily{T}_0) \tau=t_1-t \tau_0=t_1-\frakfamily{T}_0 \frakfamily{v}=\frac{\frakfamily{V}}{W_{\alpha}} . . . . . . . . . . . . (9) ergibt sich aus Gleichung (7) und (8): T_1=\frac{W_{\alpha}}{0,3\,\frakfamily{V}}+t=\frac{1}{0,3\,\frakfamily{v}}+t . . . . . . . . . . . (10) t_0=t_1-\frac{W_{\alpha}}{m}-\frac{\Theta \frakfamily{V}}{m}=t_1-\frac{W_{\alpha}}{m}\,(1+\Theta \frakfamily{v}) . . . . . . . . . . . (11) aus Gleichung (2), (7) und (9), sowie mit: \varphi=\frac{\varphi_1}{k} . . . . . . . . . . . (12) \frac{kF}{W_{\alpha}}=\varphi_1\,(1+\Theta \frakfamily{v}) . . . . . . . . . . . (13) aus Gleichung (4), (7), (8) und (9), sowie mit: B_1=2\,(t_1-t) . . . . . . . . . . . (14) \frac{kF}{W_{\alpha}}=2\,\frac{(1+\Theta \frakfamily{v})}{B_1-(1+\Theta \frakfamily{v})\,\frac{W_{\alpha}}{m}} . . . . . . . . . . . (15) aus Gleichung (5), (7), (8) und (9): \frac{kF}{W_{\alpha}}=\frac{1}{\frac{W_{\alpha}}{m}-\frac{1}{0,3\,\frakfamily{v}}}\,log_n\,\frac{\tau-\frac{1}{0,3\,\frakfamily{v}}}{\tau_0-(1+\Theta \frakfamily{v})\,\frac{W_{\alpha}}{m}} =\frac{1+\Theta \frakfamily{v}}{(1+\Theta \frakfamily{v})\,\frac{W_{\alpha}}{m}-\frac{\Theta}{0,3}\,\left(1+\frac{1}{\Theta \frakfamily{v}}\right)}\,log_n\,\frac{\tau-\frac{1}{0,3 \frakfamily{v}}}{\tau_0-(1+\Theta \frakfamily{v})\,\frac{W_{\alpha}}{m}} . . . . . . . . . . . (16) und aus Gleichung (6), (7), (8) und (9): \frac{kF}{W_{\alpha}}=2\,\frac{1+\Theta \frakfamily{v}}{T-(1+\Theta \frakfamily{v})\,\frac{W_{\alpha}}{m}-\frac{1}{0,3\,\frakfamily{v}}} . . . . . . . . . . . (17) Fig. 1., Bd. 235, S. 236 Die Formeln (13), (15), (16) und (17) sind in Fig. 1 graphisch dargestellt. Als Abscissen wurden die Gröſsen \frakfamily{v}=\frac{\frakfamily{V}}{W_{\alpha}} derart aufgetragen, daſs jedes Millimeter dem Betrage \frakfamily{v}=0,002 und jede der 20 angegebenen Einheiten dem Betrage \frakfamily{v}=0,01 entspricht, so daſs also beispielsweise die 13. Einheit den Werth \frakfamily{v}=0,13 und mithin gemäſs (9) \frakfamily{V}=0,13\,W_{\alpha} bedeutet. Als Ordinaten sind die Werthe: \frac{kF}{W_{\alpha}}=C . . . . . . . . . . . (18) in der Weise aufgetragen, daſs jedes Millimeter dem Betrage 0,001 entspricht, so daſs daher beispielsweise eine mit 24mm abgemessene Ordinate den Betrag C = 0,024 bedeutet. Die derart bestimmten Ordinaten lassen also gemäſs (18) die Heizfläche berechnen mittels des Ausdruckes: F=\frac{C}{k}\,W_{\alpha} . . . . . . . . . . . (19) Es gelten die Curven: ab, a0b0, a1b1, a2b2 und a3 b3 für die Formel (17) ef und e1 f1 für die Formel (15) cd, c1d1 und c2 d2                    „    „        „ (16) kl               „    „        „ (13) und zwar sind diese Curven mit den Annahmen berechnet: a0b0 für Wα = 0 ab, cd, ef       füra1 b1, c1 d1, e1 f1 „a2 b2, c2 d2         " W α = W α = W α = 30001500030000 für t1 = 150 a3b3                „ W α = 3000 „   t1 =   50, sowie mit den für sämmtliche Curven geltenden Annahmen: t=20,\ \frakfamily{T}_0=-20,\ \Theta=12\ \mbox{ und }m=300, was betreffs des letzteren Werthes einer Anlage aus sogen. Preſsröhren von 35mm äuſserem und 22mm innerem Durchmesser, also dem Betrage q=0,00038, sowie c=0,23 entspricht. Die Curven beziehen sich also auf den Fall, in welchem ein und derselbe vom Wasser mit der mittleren Geschwindigkeit c = 0m,23 durchflossene Röhrenstrang unter verschiedenen Umständen zur Herstellung von schraubenartig gewundenen und in Ummantelungen oder Heizkammern eingeschlossenen Oefen benutzt werden soll. Aus den Curven können nun nachstehende Schluſsfolgerungen gezogen werden: 1) Für mittlere Verhältnisse liefern die drei Formeln (15), (16) und (17) last völlig gleiche Resultate. Denn innerhalb der Abscissen 7 und 20, entsprechend \frakfamily{v}=0,07\mbox{ bis }0,2, fallen die Curven ab und cd fast vollkommen zusammen und auch ef weicht nur unerheblich ab; ebenso gehen innerhalb \frakfamily{v}=0,07 und \frakfamily{v}=0,18 die Curven a1 b1, c1 d1 und e1 f1 nicht viel aus einander. Dagegen weicht für sehr kleine Beträge von \frakfamily{v} die der grundsätzlich unrichtigen Formel (15) entsprechende Curve ef und e1 f1 sehr erheblich von der der genauen Formel (16) entsprechenden Curve cd und c1 d1 ab, und für gröſsere Beträge von \frakfamily{v} entfernt sich auch von der letzteren Curve die der angenähert richtigen Formel (17) zugehörige Curve a1 b1. Endlich zeigt sich eine erhebliche Abweichung zwischen a2 b2 und c2 d2, sowie zwischen a3 b3 und c3 d3, indem die letztere so groſse Ordinaten hat, daſs sie innerhalb des hier gebotenen Raumes gar nicht zu verzeichnen war. 2) Der durch die Ordinaten der Curven dargestellte Coëfficient C der Formel (18) ist keineswegs constant, sondern sowohl mit t1 und \frakfamily{v}, als auch mit Wα veränderlich. Diejenigen empirischen Formeln, welche diesen Coëfficienten C, wenn auch mit t1 und \frakfamily{v} als veränderlich, so doch für Wα als constant voraussetzen, sind daher für extreme Fälle sehr irrig. Eine solche empirische Formel ist die aus (2) hervorgegangene Formel (13) und die wegen unbestimmt gelassener genauerer Angaben nicht gesetzmäſsig verlaufende Curve kl stellt dieselbe dar. Es zeigt sich, daſs die Mittelwerthe der angenähert und genau richtigen Formeln allerdings mit den Ergebnissen dieser empirischen Formeln zusammenfallen, sofern t_1=150 ist und Wα zwischen 3000 und 15000 liegt. Aber für beträchtlich kleinere Werthe von t1 und gröſsere Werthe von Wα sind die Abweichungen bedeutend. Wäre C von Wα abhängig, könnte also für diesen Coëfficienten W_{\alpha}=0 gesetzt werden, so würde mit t=150 die Curve a0 b0 entstehen. Letztere bildet also die untere Grenze aller Curven, welche gröſseren Werthen von Wα und kleineren Werthen von t1 angehören. 3) Nach Maſsgabe einer empirischen Regel wird der Coëfficient \frac{C}{k} der Formel (19) constant angenommen für alle Werthe von \frakfamily{v} und Wα und nur betreffs t1 veränderlich gesetzt. Diese Annahme wird mit der Behauptung begründet, daſs k in dem gleichen Grade wie C mit \frakfamily{v} anwachse, daſs also die stündlich für 1qm und für 1° Temperaturunterschied übertragene Wärme nicht constant sei, sondern mit zunehmender Ventilationssmenge gröſser werde. Diesfalls würden die mit dem veränderlichen Werthe von k dividirten Ordinaten der Curven ab, cd und ef als Curve eine mit der Abscissenachse parallel laufende Gerade liefern. In wie weit diese Annahme richtig ist, läſst sich zur Zeit nicht mit Bestimmtheit entscheiden. In den hier angeführten theoretischen Formeln wird k als durchaus constant vorausgesetzt. Trotzdem weiſs man sehr wohl, daſs k mit mancherlei Gröſsen veränderlich ist. Dieser Coëfficient wird von Péclet für Temperaturunterschiede unter 30° zu 4 angegeben für den Fall, daſs die Röhrenoberfläche polirt ist, oder daſs das Wasser auſserhalb der Röhre und die Luft innerhalb derselben befindlich, und er wird von demselben auf k=8 geschätzt für den Fall, daſs die Röhre eine metallische oder geschwärzte Oberfläche hat, vom Wasser durchflössen und von der Luft äuſserlich berührt wird; auch ist es dabei gleichgültig gelassen, ob die Röhre frei im Zimmer liegt, oder von einer Heizkammer umschlossen wird, wenn nur die inneren Wandungen der letzteren die von der Röhre ausgestrahlte Wärme auffangen können und namentlich wenn durch angebrachte Schirme einer zu weit gehenden gegenseitigen Bestrahlung der einzelnen Röhrentheile vorgebeugt wird. Ch. Hood führt in seinem Buche: „A practical treatise on warming buildings by hot water“ auf S. 102 Versuche an, welche für frei im Zimmer angebrachte Röhren bei 70° Wassertemperatur die Werthe liefern: k=9 bei geschwärzter, k=8,7 bei metallischer und k=7,5 bei weiſser Oberfläche. Valérius (Les applications de la chaleur, 1879 S. 218) berechnet aus den Péclet'schen Fundamentalwerthen den Betrag: k=8\mbox{ bis }13,5. Im Ferrini-Schröter'schen Werke ist für das Niederdrucksystem k=11 angenommen, jedoch dieser Coëfficient für die innere Fläche der Röhre in Rechnung gezogen, so daſs thatsächlich je nach der ausgeführten Wanddicke k=6 bis 10 ausfallen würde. Redtenbacher gibt für das letztgenannte System k=23 und für das Hochdrucksystem k=11,5 an, indem er letzterenfalls allerdings den Coëfficienten auch gleich 23 setzt, ihn aber auf die innere, halb so groſs als die äuſsere Oberfläche angenommene Fläche der Röhre bezieht. Es ist zu beklagen, daſs völlig verläſsliche Werthe für diesen Coëfficienten noch nicht ermittelt wurden, um so mehr, als eine solche Ermittlung mit nicht zu groſser Mühe und mit relativ sehr geringen Kosten ausführbar sein würde. Daſs man für frei im Zimmer oder auch in einer Heizkammer angebrachte Röhren bei Temperaturen von 50 bis 100° k=9 und bei Temperaturen von 100 bis 150° k=12 annehmen und für den Fall, daſs vermöge lebhafterer Strömung der Luft durch die Heizkammern einer andernfalls stattfindenden Stagnirung der Luft in der Nähe der Röhrenoberflächen vorgebeugt wird, k=15 setzen könne, ist nur eine meinerseitige, auf allgemeine Beobachtungen und Erfahrungen gestützte Meinung. Bei dem dermaligen Stande der Sache zur Berechnung von k einen hypothetischen, diesen Coëfficienten von t1 oder (t_1-\frakfamily{T}_1) und \frakfamily{v} als abhängig darstellenden Ausdruck aufstellen und mittels desselben eine Formel als Ersatz für (3), (4), (5) und (6) ableiten zu wollen, würde ein verfrühtes Unternehmen sein. 4) Bei sehr kleinen Ventilationsmengen, entsprechend \frakfamily{v}=0 bis \frakfamily{v}=0,03, müssen die Heizflächen auſserordentlich groſs, beziehentlich unendlich groſs, selbst unter übrigens günstigen Umständen gemacht werden. Diese Thatsache wird durch die Redtenbacher'sche, Valérius'sche und Ferrini'sche Formel, welche durch die Curven ef und e1 f1 dargestellt ist, keineswegs zum Ausdrucke gebracht und ist daher um so mehr meistens unbeachtet geblieben, als sie bei erster Ueberlegung paradox erscheinen mag. Es ist nämlich jedenfalls richtig, daſs die Wärmeabgabe einer Röhre am kleinsten für \frakfamily{v}=0, also für den Fall gar keiner Ventilation wird. Ist jedoch gemäſs den hier vorausgesetzten Annahmen die Röhre in einer Ummantelung oder in einer Heizkammer befindlich, so wächst die Lufttemperatur in dieser Umhüllung während des Beharrungszustandes bei \frakfamily{v}=0 bis auf die Temperatur des Wassers an, und alsdann ist eine Wärmeabgabe nicht möglich, selbst wenn die Heizfläche unendlich groſs gemacht würde. Und falls unter diesen Umständen \frakfamily{v} nicht sehr groſs ist, so fällt die Temperatur \frakfamily{T}_1 so hoch aus, daſs aus diesem Grunde die Heizfläche eine bedeutende Ausdehnung erhalten muſs, um eine verhältniſsmäſsig geringe Wärme abgeben zu können. Nicht selten ist es mir vorgekommen, daſs Fabrikanten, welche für gut zu ventilirende Räume einen zwei- bis dreimaligen stündlichen Luftwechsel zusicherten, für andere nur mäſsig zu lüftende Räume einen nur einmaligen Luftwechsel in der Absicht vertragsmäſsig feststellten, um für diese Räume mit geringeren Heiztlächengröſsen ausreichen zu können. Dieser Irrthum muſste jedoch später theuer gebüſst werden, da gemäſs den soeben dargelegten Beziehungen für den Fall, daſs die Ventilation nachträglich nicht verstärkt werden konnte, selbst eine beträchtliche Vergröſserung der ursprünglich angebrachten Heizfläche das betreffende Local nicht heizbar machte. 5) Die hier besprochenen Formeln und die graphischen Darstellungen derselben legen vor Augen, daſs zur Erzielung kleinster Heizflächengröſsen eine ganz bestimmte, mit t1 und Wα veränderliche Ventilationsmenge angenommen werden muſs, und daſs eine Abweichung von diesen Mengen sowohl abwärts, als aufwärts unter Umständen zu sehr bedeutend gröſseren Heizflächen nöthigt. (Aus der Zeitschrift des österreichischen Ingenieur- und Architectenvereines, 1879 S. 150.)