Maschinenelemente.Ueber Triebwerke mit Verwendung von Schrauben- und Schneckenrädern. Mit Abbildungen. Ueber Triebwerke mit Verwendung von Schrauben- und Schneckenrädern. A. Die cylindrischen Schraubenräder für sich kreuzende Wellen. Wenn auch diese Räder nicht eine solche Bedeutung für den allgemeinen Maschinenbau besitzen wie Stirnräder gewöhnlicher Art, so rechtfertigt die steigende Verwendung dieser von Hooke (im J. 1666) erfundenen und von White in Manchester (1808) wiedererfundenen Schrägzahnräder im Werkzeugmaschinenbau, namentlich mit Rücksicht auf ihre Herstellung, eine, wenn auch knappe, theoretische Behandlung, wobei auf die einschlägigen Arbeiten von Willis, Keller, Weisbach-Herrmann, Unwin und Holdinghausen (Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1890 Bd. 34 Nr. 11 * S. 257) verwiesen wird. Bei der allgemeinsten Grundform, dem „Rotationshyperboloid“ mit gerader Berührungslinie, liegen die Radachsen in geneigten Ebenen und diese gehen in einem kleinsten Abstande C an einander vorüber. Liegen die Radachsen in parallelen Ebenen im Abstande C, unter einem Schränkungswinkel a gegen einander geneigt, und wird als Grundform der Cylinder gewählt, so kann die Berührung der gekrümmten Zahnkanten nur in einem Punkte erfolgen. Die Zähne selbst sind Schraubenkörper von einem schrägen Grundquerschnitt, welcher der Zahnform gewöhnlicher Stirnräder entspricht. Der Steigungswinkel dieser Schraubenlinie ist γ (Fig. 1), der Achsenwinkel δ, dagegen heisst die Bogentheilung der Zähne in der Radmittelebene der Sprung s, und während die Normaltheilung t der senkrechte Abstand gleicher Zahnkanten ist, wird die Zahntheilung p in der Achsrichtung der Stich sein. Hiernach folgt: z . p = h als Steigung für z Gewindegänge (Zähnezahl) eines Rades vom Theilkreishalbmesser r, demnach: $$\frac{2\pi r}{h}=\frac{2\pi r}{p.z}=\frac{1}{p}.\frac{2\pi r}{z}=\frac{s}{p}=tg\delta$$ . (1 oder $$\frac{p}{s}=tg\gamma =cotg\delta$$ bezieh. nach Fig. 1: $$\frac{t}{s}=sin\gamma =cos\delta$$ $$\frac{t}{p}=cos\gamma =sin\delta$$ woraus durch Verbindung die Verhältnisse: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ folgen.

Fig. 1.Fig. 2.

Ist ferner bei zwei Rädern (Fig. 2) δ + δ1 = α der Schränkungswinkel der Achsen, bezieh. γ + γ1 = β der Schränkungswinkel der Radmittelebenen, also β = (180 – α) worin γ und δ die einzelnen vorbeschriebenen Steigungswinkel bezieh. die Winkel der gemeinschaftlichen Berührungslinie, d. i. die Tangirenden an Zahn und Theilrisscylinder beider Räder ist, so folgt vorerst für r + r 1 = C als Achsenabstand der Radhalbmesser r = C – r 1 und weil zusammenlaufende Räder gleiche Normaltheilung haben müssen, also t = t1 ist, und weil nach Gleichung 2 t = s . cos δ, auch t1= s1 . cos δ1 ist, so wird daher s . cos δ  = s1 . cos δ1 . . . . . (3 bezieh. $$\frac{s}{s_1}=\frac{cos{\delta }_1}{cos\delta }$$ folgen. Da nun δ1 = (α ∓ + δ) wird, so entsteht das Verhältniss: $$\frac{s}{s_1}=\frac{\mp cos(\alpha \pm \delta )}{cos\delta }$$. . . . . (4 Bekanntlich ist $$2\pi r.\frac{n}{60}=v$$ die secundliche Umfangsgeschwindigkeit des einen Rades bezieh. $$2\pi .\frac{n}{60}=\frac{v}{r}=\omega$$ dessen Winkelgeschwindigkeit, sowie nach Gleichung 1 z . s = 2πr und $$z.\frac{t}{sin\gamma }=2\pi r$$, also $$z=\frac{2\pi r}{t}.sin\gamma$$ . . . . (5 die Gewindezahl, hiernach wegen t = t1 wird $$i=\frac{z}{z_1}=\frac{r.sin\gamma }{r_1.sin{\gamma }_1}$$ . . . . . (6 die Räderübersetzung sein. Nun ist das Verhältniss der Zähnezahlen dem Verhältniss der Winkelgeschwindigkeiten bezieh. demjenigen der Umlaufszahlen umgekehrt proportional: $$\frac{z}{z_1}=\frac{{\omega }_1}{\omega }=\frac{n_1}{n}$$ . . . . . (7 während die Umlaufsgeschwindigkeiten den Sprungtheilungen s direct verhältnissmässig sind, so dass $$\frac{v}{v_1}=\frac{\omega .r}{{\omega }_1.r_1}=\frac{s}{s_1}$$ . . . . . (8 folgt. Werden diese Umfangsgeschwindigkeiten v = ab und v1 = ac maasstäblich in die Bewegungsebene (Mittelebene) der Räder vom Centralpunkt a (Fig. 2) aus aufgetragen und wird ferner zur Verbindungslinie fd eine Parallele durch den Centralpunkt a gezogen, so bestimmen die dadurch hervorgegangenen Winkel S oder y die Lage der Momentanachse der gemeinschaftlichen Tangirenden, welche die Richtungslinie der Schraube im augenblicklichen Berührungspunkte a ist. Dagegen ist die aus a auf cb gezeichnete Senkrechte ad die gemeinschaftliche Normalcomponente der beiden Umfangsgeschwindigkeiten. Da folgt nun nach dem Vorhergehenden, dass diesen Geschwindigkeiten auch die Theilungen proportional sind, so dass ad = t die Normaltheilung der Zähne ist, wenn ab = s und ac=s1 die Sprungtheilungen sind. Folgerichtig werden alsdann die Strecken af = p und ag = p1 die Zahnstiche sein müssen, während cb = u die maasstäbliche Grösse der relativen Geschwindigkeit des Schleifens längs der Zahnrichtung vorstellt. Aus dem Dreieck bac folgt nach dem Sinussatz: $$\frac{cb}{ab}=\frac{sin\alpha }{sin(90-{\delta }_1)}=\frac{sin\alpha }{cos{\delta }_1}$$ und da ab = v = ω . r ist, so folgt: $$u=\frac{sin\alpha }{cos{\delta }_1}.v=\frac{sin\alpha }{cos\delta }.v_1$$ . . . . . (9 Für parallele Achsen ist α = 0 und sin α = 0, daher auch die relative Schleifgeschwindigkeit u = 0, während für α = 90°, sin α = 1: $$u=\frac{v}{cos{\delta }_1}=\frac{v}{cos\delta }$$ bei winkelrecht geschränkten Achsen ein Grösstwerth entsteht. Dieses Schleifen bedingt einen Reibungswiderstand, ohne dessen Berücksichtigung die Kraftverhältnisse dieser Räder nicht wohl berechnet werden können. Da in Fig. 2 ∢ dab = δ und ∢dac = δ1 ist, so wird nach dem Cosinussatz aus dem Dreieck bac folgen: (cb2) = s2 + s12 – 2 ss1cosα  . . . (10 und da nach dem Sinussatz wie vorher $$\frac{cb}{ab}=\frac{sin\alpha }{sin(90-{\delta }_1)}=\frac{sin\alpha }{cos{\delta }_1}$$ und weil ab = s ist, so wird $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ werden. Hiernach sind für einen gegebenen Schränkungswinkel α und für Sprungtheilungen s und s1 die Winkel δ und δ1 bestimmt und die beiderseitigen Steigungen der Radzähne festgelegt. Aus der Gleichung 6 für die Räderübersetzung folgt ferner: i . r1 sin γ = r . sin γ und wenn für den Radhalbmesser r sein Werth r = C – r1 aus dem Achsenabstande C eingeführt wird, so entsteht aus i . r1 sin γ1 = (C –r1) sin γ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ wenn r1 = C – r eingesetzt wird. Für gegebene Steigungswinkel γ und für einen kleinsten Achsenabstand C können hiernach bei gegebener Uebersetzung i die Radhalbmesser berechnet werden. Aus Gleichung 1: $$\frac{2\pi r}{h}=tg\delta =\frac{1}{tg\gamma }$$ folgt ebenso $$r=\frac{h}{2\pi }.tg\delta =\frac{h}{2\pi }.\frac{1}{tg\gamma }$$ bezieh. $$r_1=\frac{h_1}{2\pi }.\frac{1}{tg{\gamma }_1}$$. Werden nun diese Werthe in die Gleichung 6 eingeführt, so entsteht für die Uebersetzung die Beziehung: $$i=\frac{z}{z_1}=\frac{h}{h_1}.\frac{cos\gamma }{cos{\gamma }_1}$$ . . . . (13 woraus $$i.\frac{h_1}{h}=\frac{cos\gamma }{cos{\gamma }_1}$$ folgt. Wenn nun für γ = (β – γ1) bezieh. für cos (β – γ1) = cos β . cos γ1 + sin β . sin γ1 gesetzt und die Rechnung durchgeführt wird, so entsteht $$i.\frac{h_1}{h}=cos\beta +sin\beta .tg{\gamma }_1$$ und ferner $$i.\frac{h_1}{h}.\frac{1}{sin\beta }-cotg\beta =tg{\gamma }_1$$, ebenso wie $$tg\gamma =\frac{1}{i}.\frac{h}{h_1}.\frac{1}{sin\beta }-cotg\beta ,$$ oder weil β = (180 – α) und γ = 90 – δ ist, so folgen weiter: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ als Steigungswinkel der Radzähne für gegebene Uebersetzung i und ein bekanntes Steigungsverhältniss (h1 : h), wobei negative Werthe für die Tangenten linksgängigem Gewinde entsprechen. Durch Summation der Halbmesserwerthe $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ entsteht die Beziehung für den Achsenabstand: $$C=(r+r_1)=\frac{1}{2\pi }.(\frac{h}{tg\gamma }+\frac{h_1}{tg{\gamma }_1})$$ . . . . . (15a durch welche die Richtigkeit der Rechnung nachgewiesen werden soll. Um nun die Steigungen zu ermitteln, wird, weil $$h=z.p\text{ und }\frac{p}{t}=\frac{tg\gamma }{sin\gamma }=\frac{1}{cos\gamma }$$ ist, $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ sein, demnach, wenn man in die Gleichung 15 für $$tg\gamma =\frac{sin\gamma }{cos\gamma }$$ setzt und mit dem cos γ aus Gleichung 15 b für h kürzt, folgt: $$(r+r_1)=\frac{t}{2\pi }.(\frac{z}{sin\gamma }+\frac{z_1}{sin{\gamma }_1}),$$ woraus die Normaltheilung t berechnet werden kann. Es folgt $$t=\frac{2\pi }{\frac{z}{sin\gamma }+\frac{z_1}{sin\gamma }}C$$ . . . . (16 Wird dagegen in die goniometrische Beziehung:. $$cos\gamma =\frac{1}{\sqrt{1+t{g}^2\gamma }}$$ aus Gleichung 15 b $$cos\gamma =\frac{z.t}{h}$$ und aus Gleichung 14 für $$tg\gamma =\frac{1}{i}.\frac{h}{h_1}.\frac{1}{sin\alpha }+cotg\alpha$$ eingesetzt, so entsteht eine unmittelbare Beziehung für die Normaltheilung t: $$t=\frac{h}{z}.\frac{1}{\sqrt{1+{(\frac{1}{i}.\frac{h}{h_1}.\frac{1}{sin\alpha }+cotg\alpha )}^2}}$$ (17 Diese Normaltheilung t wird auf das Bogenscheitelstück aufgetragen, welches aus dem schiefen Cylinderschnitt der Grundform an der Berührungsstelle entsteht. Die Krümmungshalbmesser dieser Bogen sind: $$\rho =\frac{r}{co{s}^2\gamma }$$ bezieh. $${\rho }_1=\frac{r_1}{co{s}^2{\gamma }_1}$$. Der Normaltheilung t entsprechend werden die Zahnformen in der üblichen Weise gebildet. Sonderfälle: I. Für Räder von gleichem Steigungswinkel $$\gamma ={\gamma }_1=\frac{\beta }{2}$$ ist nach Gleichung 6 $$i=\frac{z}{z_1}=\frac{r}{r_1}$$ und ebenso nach Gleichung 13 $$i=\frac{z}{z_1}=\frac{h}{h_1}$$ so dass $$\frac{z}{z_1}=\frac{r}{r_1}=\frac{h}{h_1}$$ als Gleichheit der Verhältnisse folgt. II. Für winkelrecht geschränkte Radachsen ist α = β = 90°, also γ = (90 – γ1), demnach sin γ = sin (90 – γ1) = cos γ1 und cotg γ1= cotg (90 – γ) = tg γ, und nach Gleichung 6 $$i=\frac{z}{z_1}=\frac{r}{r_1}.\frac{sin\gamma }{sin{\gamma }_1}=\frac{r}{r_1}.\frac{cos{\gamma }_1}{sin{\gamma }_1}$$ $$i=\frac{r}{r_1}.cotg{\gamma }_1=\frac{r}{r_1}.tg\gamma$$ bezieh. nach Gleichung 13 $$\frac{z}{z_1}=\frac{h.\cos \gamma }{h_1.\cos {\gamma }_1}=\frac{h}{h_1}.cotg\gamma$$. Es ist daher $$\frac{r}{r_1}.tg\gamma =\frac{h}{h_1}.cotg\gamma$$ und weil $$cotg\gamma =\frac{2\pi r}{h},$$ so wird $$\frac{r}{r_1}.\frac{h}{2\pi r}=\frac{h}{h_1}.\frac{2\pi r}{h},$$ woraus h . h1 = 2πr . 2nr1 . . . . . (18 folgt, d. i. das Product der Steigungen gleicht dem Producte der Radumfänge. III. Bei parallelen Radachsen wird

β = γ + γ 1 = 180° γ 1 = (180 – γ) sin γ 1 = sin γ tg γ 1 = – tg γ.

Das eine Rad erhält rechts-, das andere linksgängige Schraubenzähne, beide Räder aber gleiche Steigungswinkel. Für r + r1 = C folgen nach Gleichung 12: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ als Radhalbmesser, welche in Gleichung 1 eingesetzt für $$h=2\pi r.tg\gamma =2\pi \frac{i}{1-i}.C.tg\gamma$$ und $$h_1=2\pi r_1.tg{\gamma }_1=-2\pi \frac{i}{1+i}.C.tg\gamma$$ ergeben, woraus $$\frac{h}{h_1}=-\frac{i}{1}=\frac{z}{z_1}$$ als Verhältniss der Steigungen folgt. Die gesammte Zahnreibung setzt sich aus zwei Theilen zusammen: a) Aus der durch das relative Schleifen längs der Zahnrichtung und b) aus der durch das Gleiten der Zahncurvenflanken bedingten. Von diesen soll nur die erste (a) berücksichtigt werden. Die Geschwindigkeit des relativen Schleifens ist, wie bereits bekannt, nach Gleichung 9: $$u=\frac{sin\alpha }{cos{\delta }_1}.v.$$ Mit der gleichen Geschwindigkeit wird der aus der Normalkraft N entstehende Reibungswiderstand fN zu überwinden sein. Ist v die Geschwindigkeit der Kraft P (Zahndruck) und v1 diejenige des Widerstandes Q, so wird 0 = Q . v1 + fN . u – v . P sein, während 0 = Q – N cos δ1 + f . N sin δ1 0 = Q – N (cos δ1 – f . sin δ1) bezieh. $$N=\frac{1}{cos{\delta }_1-f.sin{\delta }_1}.Q=a.Q$$ als Normaldruck folgen wird, welcher in die obere Gleichung eingesetzt v . P = (v1 +a . f . u) Q bezieh. $$\frac{P}{Q}=\frac{v_1}{v}+a.f.\frac{u}{v}$$ ergibt. Weil nun nach Gleichungen 8 und 3 $$\frac{v_1}{v}=\frac{s_1}{s}=\frac{cos(\alpha -{\delta }_1)}{cos{\delta }_1}$$ und nach Gleichung 9 $$u=\frac{sin\alpha }{cos{\delta }_1}.v,$$ sowie $$a=\frac{1}{cos{\delta }_1-f.,sin{\delta }_1}$$ ist, so wird nach Einführung dieser Werthe $$\frac{P}{Q}=\frac{cos(\alpha -{\delta }_1)}{cos{\delta }_1}+f.\frac{sin\alpha }{cos{\delta }_1}.\frac{1}{cos{\delta }_1-f.sin{\delta }_1}$$ (20 als Kraftlastverhältniss sich ergeben. Bei winkelrechter Achsenschränkung wird α = 90°, sin α = 1 und cos (α – δ1) = sin δ1, wobei nach regelrechter Ausrechnung $$\frac{P}{Q}=\frac{sin{\delta }_1.cos{\delta }_1+f.co{s}^2{\delta }_1}{co{s}^2{\delta }_1-f.sin{\delta }_1.cos{\delta }_1}$$ bezieh. $$\frac{P}{Q}=\frac{tg{\delta }_1+f}{1-f.tg{\delta }_1}$$ entsteht. Wird die Reibungszahl in Tangente des Reibungswinkels ausgedrückt, also f = tgφ gemacht und in Rechnung gesetzt, so wird $$\frac{P}{Q}=\frac{tg{\delta }_1+tg\phi }{1-tg{\delta }_1.tg\phi }=tg({\delta }_1+\phi )$$ . . (21 Ein Betrieb ist für P = ∞ unmöglich. Wird daher (δ1 + φ) = 90° bezieh. tg 90 = ∞, so entspricht dies δ1 = 90 – φ. Wenn daher die Zahnrichtung des getriebenen Rades gegen die Radachse um δ1 ∾ 80° abweicht, so ist ein Betrieb mit Schrägzahnrädern und winkelrecht verschränkten Achsen ausgeschlossen. Für (δ + δ1) = 90° wird nach Gleichung 6 $$\frac{r_1.z}{r.z}=\frac{sin\gamma }{sin{\gamma }_1}=\frac{cos\delta }{cos{\delta }_1},$$ weil cos δ = cos (90 – δ1) = sin δ1 ist, $$\frac{r_1.z}{r.z_1}=\frac{sin{\delta }_1}{cos{\delta }_1}=tg{\delta }_1$$ sein, woraus $$\frac{r_1}{r}=\frac{z_1}{z}.tg{\delta }_1$$ als Verhältniss der Radhalbmesser bezieh. der Krafthebelarme folgt. Wird das Verhältniss der Kraftmomente $$\frac{r_1.Q}{r.P}=\frac{M_1}{M}=\frac{z_1}{z}.tg{\delta }_1.\frac{Q}{P}$$ gemacht und P = tg (δ1 +φ ) . Q gesetzt, so ist $$\frac{z_1}{z}.\frac{tg{\delta }_1}{tg({\delta }_1+\phi )}.\frac{Q}{Q}=\frac{M_1}{M},$$ woraus $$\frac{z_1}{z}=\frac{tg({\delta }_1+\phi )}{tg{\delta }_1}.\frac{M_1}{M}$$ . . . . . (22 sich ergibt. Wird das Verhältniss $$\frac{tg{\delta }_1}{tg({\delta }_1+\phi )}=\mu$$ als Wirkungsgrad bezeichnet, so folgt $$\frac{tg{\delta }_1}{tg({\delta }_1+\phi )}.\frac{z_1}{z}.M=M_1$$ bezieh. $$M_1=\mu .\frac{z_1}{z}.M$$ . . . . . (23 als statisches Moment der Widerstandskraft Q bezieh. M1 = Q . r1. Da für φ = 6° tg φ = 0,1 = f als Reibungszahl stählerner bezieh. Bronzeräder im Eingriff mit gut geölten Gusseisenrädern angenommen werden kann, so folgen für Steigungswinkel

δ 1 = 6° 8° 10° 12° 14° 16° 18° tgδ 1 = 0,1 0,14 0,176 0,213 0,25 0,287 0,325 tg (δ1 + φ) = 0,213 0,25 0,287 0,325 0,364 0,404 0,445 Wirkungsgrade μ = 0,47 0,56 0,60 0,65 0,68 0,71 0,73

Einen wesentlichen Einfluss auf den Wirkungsgrad der Schraubenräder haben nebst dem grundlegenden Factor, dem Steigungswinkel, noch die Elemente, welche die Grösse der Reibungszahl bestimmen, wie Materialbeschaffenheit, Härte, Politurfähigkeit und Flächenpressung der Radzähne, ausserdem noch Oelmaterial, Temperatur desselben und Gleitgeschwindigkeit der Zähne. Wie beträchtlich die Abweichungen des Wirkungsgrades durch Geschwindigkeitswechsel werden können, zeigt die folgende Tabelle A, welche nach Versuchsergebnissen von W. Sellers und Thurston zusammengestellt sind (vgl. Zeitschrift d. V. d. I., 1887 Bd. 31 Nr. 22 * S. 455). Trotzdem hierin Zahnflanken- und Zapfenreibung Tabelle A. Mittlere Wirkungsgrade μ in Procenten.

Minutliche Umlaufszahl des Getriebes; Theilkreisgeschwindigkeit des treibenden Rades; Stirnräder; SchraubenräderSchraubenräder, Schneckenräder; Bemerkungen; Gewindezahl, Steigungswinkel, Uebersetzung; v m/Sec. minutliche Theilkreisgeschwindigkeit des treibenden Schrauben- oder Schneckengetriebes., Bei z = 1 ist die Schleifgeschwindigkeit    Zahndruck P wechselnd bei Stirnrädern 200 bis 1800 k, bei Schraubenrädern 500 bis 2400 k, Alle Schraubengetriebe von d = 101,6 mm Durchmesser laufen in dasselbe Rad von D = 473 mm Durchmesser und z1 = 39 Zähnezahl, Radzapfendurchm. d3 = 75 mm Getriebzapfen d2 = 75 mm ist zugleich Spurzapfen. Zwischen diesen und der Spurpfanne ist ein loser Druckring aus Hartbronze eingelegt. Temperatur des Oelbades schwankt zwischen 40 und 80° C.

beider gusseisernen Räder mit inbegriffen sind, so weist diese Zusammenstellung doch wesentlich höhere Wirkungsgrade auf, als das vorbeschriebene Beispiel. (Schluss folgt.)