Neue Theorie der Turbinen. Von Emil Herrmann, Oberbergrat, Professor in Schemnitz. Neue Theorie der Turbinen. Erschöpfend kann eine Theorie der Turbinen nur dann genannt werden, wenn sie uns in den Stand setzt, den hervorragenden Einfluss der Schaufelwinkel auf die Leistung und den Gang der Maschine ziffermässig nachzuweisen; dabei darf die Theorie von den Effekt Verlusten des Wassers in den Rädern nicht absehen, weil sonst die Resultate derselben von der Wirklichkeit zu sehr abweichen. Eine Theorie, welche diese Bedingung erfüllt, will ich im nachstehenden aufzustellen versuchen. 1. Die Bezeichnung. Um die Verhältnisse zu fixieren, setze ich eine freigehende, um eine vertikale Achse sich drehende Turbine voraus, bei welcher der Eintrittsradius des Laufrades von dessen Austrittsradius verschieden ist. Textabbildung Bd. 312, S. 165 Fig. 1. Es sei (in Fig. 1): H0 das gesamte Gefälle, dies messen wir vom Wasserspiegel des Obergrabens bis zum Wasserspiegel des Untergrabens. H die Tiefe des Turbinenspaltes unter dem Wasserspiegel des Obergrabens. h die Höhe des Laufrades. H1 das Freihängen, d. i. die Höhe der unteren Fläche des Laufrades über dem Unter Wasserspiegel. Demnach ist für die vorausgesetzte Anordnung H0= H + h + h1. (L0 in Fig. 1 das Leit- und L das Laufrad.) r der Eintritts- und r1 der Austrittshalbmesser. Q0 cbm die zu Gebote stehende Wassermenge per Sekunde. xQ0 = Q cbm die sekundliche nutzbare, d.h. wirklich in das Laufrad gelangende Wassermenge. n die Anzahl der minutlichen Umdrehungen und ω die Winkelgeschwindigkeit des Laufrades, somit n = 9 . 55 ω. s die Breite des Spaltes. b0, b, und b1 die Breite des Leitrades bezw. des Laufrades an der Eintritts- und Austrittsstelle. Zur Feststellung der Geschwindigkeiten nehme ich eine radiale Turbine an (Fig. 2). Textabbildung Bd. 312, S. 165 Fig. 2. v0, v und v1 die absolute Geschwindigkeit, mit welcher das Wasser das Leitrad verlässt bezw. in das Laufrad eintritt und dasselbe verlässt. u und u1 die relative Geschwindigkeit, mit welcher das Wasser in das Laufrad tritt und dasselbe verlässt. rω und r1 ω die Umfangsgeschwindigkeit des Rades am Eintritts- und Austrittsumfange. α der Winkel, welchen die Tangente an das Ende der Leitschaufel (in A) mit der Richtung der Radumfangsgeschwindigkeit an der Eintrittsstelle in das Laufrad bildet. β der Winkel, welchen die Richtung der relativen Geschwindigkeit des Wassers an der Eintrittsstelle in das Laufrad mit der Richtung der Radumfangsgeschwindigkeit, und (180 – γ) der Winkel, welchen die Tangente der Laufradschaufel an der Austrittsstelle aus dem Laufrade, mit der Richtung der Radumfangsgeschwindigkeit bildet. e die Dicke der Leitschaufel, e0 jene der Laufradschaufel an der Eintrittsstelle, und e0 an der Ausflussstelle. λ0 und λ die Anzahl der Leit- und Laufradschaufeln. t0, t und t1 die Teilung des Leitrades bezw. des Laufrades an der Einfluss- und an der Ausflussstelle. L die sekundliche Arbeitsleistung der Turbine. \eta=\frac{L}{1000\,Q_0\,H_0} das Güteverhältnis des Apparates. g = 9,806 m die Beschleunigung beim freien Falle. z das Reaktionsgefälle oder die Druckhöhe der Spannung des Wassers nach dem Eintritte in das Laufrad. 2. Ausdruck für die Arbeitsleistung. Bei der Ableitung des Ausdruckes für die Arbeitsleistung des Rades kann man zweierlei Wege einschlagen, den indirekten oder den direkten. Der erstere ist der gebräuchliche, weil er kürzer und leichter ist, die direkte Ableitung ist überzeugender, aber langwierig und ziemlich schwierig. Wir wollen hier den ersten Weg befolgen. Wenn man von allen Nebenwiderständen, Stössen und Verlusten absieht, also einen vollkommenen Apparat voraussetzt, besitzt das Wasservolumen Q zur Zeit seines Eintrittes in das Laufrad die Arbeitsfähigkeit 1000 QH0 mkg und nimmt davon noch die lebendige Kraft \frac{1000\,Q}{g}\,.\,\frac{{v_1}^2}{2} in den Abflussgraben, gibt somit an das Rad die Arbeitsmenge Lab: L=\frac{1000\,Q}{g}\,\left(\frac{2\,g\,H_0-{v_1}^2}{2}\right). Da das Wasser noch mit der, der Druckhöhe z entsprechenden Spannung in das Laufrad strömt, so ist für die absolute Geschwindigkeit v2= 2 g (H – z). Aus dem Dreiecke ABC der Fig. 2 folgt die relative Geschwindigkeit BC = AD = u2 : u = v2 + r2 ω2 – 2 vrωcosα. Fällt dabei ihre Richtung mit der Tangente an die Leitradschaufel im Punkte A zusammen, so fliesst das Wasser ohne Stoss in das Laufrad. Wäre das Laufrad in Ruhe, so würde die lebendige Kraft der Masseneinheit des Wassers im Laufrade bis zu seinem Austritte aus demselben um g (z + h) zunehmen, weil g das Gewicht der Masseneinheit ist, und sie die Arbeitsmenge g (z + h) aufnimmt. Wegen der Drehung des Rades kommt hierzu auch noch die Arbeit der Fliehkraft. Wenn x die Entfernung der Masseneinheit des Wassers von der Achse bedeutet, dann ist die Fliehkraft xω2. Die elementare Zunahme der Entfernung ist dx, somit das Element der Arbeit xω2 dx und die ganze Arbeit \int\limits_{r}^{r_1}\,x\,\omega^2\,d\,x=\frac{{r_1}^2\,\omega^2-r^2\,\omega^2}{2}. Demzufolge ist die lebendige Kraft der relativen Bewegung der Masseneinheit beim Austritte des Wassers aus dem Laufrade \frac{{u_1}^2}{2}=\frac{u^2}{2}+g\,(z+h)+\frac{{r_1}^2\,\omega^2-r^2\,\omega^2}{2}, d.h. für die relative Ausflussgeschwindigkeit ist: u12= u2+ 2 g (z + h) + r12 ω2 – r2 ω2. Aus dem Dreiecke EHG (Fig. 2) folgt v12 = u12 + r12 ω2 – 2 ur1 ωcosγ. Bildet man die Summe v 2 + u 2 + u 1 2 + v 1 2 = 2 g (H – z) + v2 + r2 ω2 – 2 vrωcosα + u2 + 2 g (h + z) + r12 ω2 – r2 ω2 + u12 + r12 ω2 – 2 u1 r1 ωcosγ, so folgt \frac{2\,g\,(H+h)-{v_1}^2}{2}=v\,r\,\omega\,cos\,\alpha+u_1\,r_1\,\omega\,cos\,\gamma-{r_1}^2\,\omega^2. Da wir vom Freihängen absahen, d.h. h1 = 0 voraussetzten, ist H + h = H0 das ganze Gefälle; \left(\frac{2\,g\,H_0-{v_1}^2}{2}\right)\,\frac{Q\,1000}{g} ist aber, wie wir gesehen, die Arbeitsleistung des Rades, welche daher auch geschrieben werden kann: L=\frac{1000\,Q}{g}\,[v\,r\,\omega\,cos\,\alpha+u_1\,r_1\,\omega\,cos\,\gamma-{r_1}^2\,\omega^2] 1) Genau denselben Ausdruck erhält man auf direktem Wege, wobei man aber von den Nebenhindernissen nicht abzusehen braucht. Die Aufgabe kann so gestellt werden: die Masseneinheit (z.B. eine Kugel) ist gezwungen, auf einer starren Linie (die Kugel ist z.B. durchbohrt und steckt auf einem Draht) von der Form des Laufradschaufelschnittes herabzugleiten, während die Bahn mit der Achse fest verbunden ist und sich um dieselbe gleichförmig dreht. Die Reibung und Nebenwiderstände wirken längs der festen Kurve, ebenso das Reaktionsgefälle. Welche Arbeit muss dem sich drehenden System entzogen werden, damit die Drehung gleichförmig bleibe? Da, wie gesagt, das Resultat mit der Gl. 1) identisch ist, wenn man mit \frac{1000\,Q}{g} multipliziert, so folgt, dass die Gl. 1) auch für die gewöhnliche Turbine geltet, nur hat man die Geschwindigkeiten v und u1 dieser entsprechend zu bestimmen. Sämtliche bisher aufgestellten Turbinentheorien setzen stillschweigend voraus, dass die Gl. 1) auch für unvollkommene Apparate geltet und setzen demgemäss 1000\,Q\,\varepsilon\,H_0=\frac{1000\,Q}{g}\,[v\,r\,\omega\,cos\,\alpha+u_1\,r_1\,\omega\,cos\,\gamma-{r_1}^2\,{\omega_1}^2], wobei nun ε das Güteverhältnis der Turbine bedeutet. Dieser Schritt, welcher zu dem Zwecke geschieht, um die Winkelgeschwindigkeit zu berechnen, ist zwar nicht unrichtig, aber er beraubt uns der Möglichkeit, den Nutzeffektskoeffizienten aus den Konstruktionselementen (Schaufelwinkeln) direkt abzuleiten. Weil dieser Schritt auch überflüssig ist, vermeide ich ihn, und darin liegt der wesentliche Unterschied zwischen meiner und den sonstigen Theorien. 3. Ausdrücke für die wirklichen Turbinen. Bei jeder wirklichen Turbine treten Stösse und Reibungshindernisse auf, welche sowohl die Geschwindigkeiten, als auch die Arbeitsleistungen herabsetzen. Zunächst strömt das Wasser aus dem Leitrade nur mit der Geschwindigkeit v_0=\sqrt{2\,g\,\zeta_0\,(H-z)} . . . . . 2) wenn ζ0 < 1 den sogen. Geschwindigkeitskoeffizienten bedeutet. Beim Ueberfliessen des Wassers aus dem Leitrade in das Laufrad geht ein Teil der lebendigen Kraft abermals verloren, weshalb, wenn ζ < ζ0 ist, die Eintrittsgeschwindigkeit v=\sqrt{2\,g\,\zeta\,(H-z)} . . . . . 3) ist. Die relative Eintrittsgeschwindigkeit bleibt wie früher u2 = v2 + r2 ω2 – 2 vrωcosα, oder mit Rücksicht auf den Wert von v u2= 2 gζ (H – z) + r2 ω2 – 2 vrωcosα. Würde die Reibung und Adhäsion im Laufrade keinen Effektverlust verursachen, so würde für die relative Ausflussgeschwindigkeit sein: u12 = u2 + 2 g (ζ1 z + h) + r12 ω2 – r2 ω2, worin (1 – ζ1) der Verlustkoeffizient für das Reaktionsgefälle. Im allgemeinen scheint ζ1 < als ζ zu sein, auch dann, wenn eine Reaktionsturbine mit voller Beaufschlagung arbeitet, und nimmt ζ1 um so mehr ab, je unvollkommener die Beaufschlagung, je kleiner also die wirkliche Wassermenge ist im Vergleich zur normalen. Weil aber auch im Laufrade Bewegungshindernisse auftreten, ist für u1 nur u12= σ [u2 + 2 g (ζ1 z + h) + r12 ω2 – r2 ω2], worin σ < 1 der Durchflusskoeffizient für das Laufrad ist. Setzt man statt u2 den obigen Wert, dann kommt u_1=\sqrt{\sigma\,\{2\,g\,[\zeta\,H-(\zeta-\zeta_1)\,z+h]+{r_1}^2\,{\omega_1}^2-2\,v\,r\,\omega\,cos\,\alpha\}}. Setzen wir ζH – (ζ – ζ1) z + h = H1 . . . . 4) dann ist u_1=\sqrt{\sigma\,[2\,g\,H_1+{r_1}^2\,\omega^2-2\,v\,r\,\omega\,cos\,\alpha]} . . 5) Das Produkt u1 cosγ kann aus dem Ausdrucke 1 für die Arbeitsleistung des Rades ausgeschieden werden, wenn wir einen algebraischen Ausdruck für die Bedingung aufstellen, dass ebensoviel Wasser aus dem Laufrade in der Zeiteinheit ausfliessen muss, wie viel während der Zeit eingeflossen ist. Aus dem Dreiecke JKL (Fig. 2) ist ersichtlich, dass jede Leitschaufel den Teil J\,K=\frac{e_0}{sin\,\alpha} des Umfanges des Leitrades verdeckt, weshalb der freie Umfang bei einer Vollturbine nur \left(2\,\pi\,r-\frac{\lambda\,e_0}{sin\,\alpha}\right)=2\,\pi\,r\,\left(1-\frac{\lambda\,e_0}{2\,\pi\,r\,sin\,\alpha}\right) ist. Ganz analog findet man den freien Umfang des Laufrades an der Eintrittsstelle \left(2\,\pi\,r-\frac{\lambda_1\,e}{sin\,\beta}\right). Derselbe steht zum ganzen Umfang des Laufrades an der Eintrittsseite in dem Verhältnisse \left(2\,\pi\,r-\frac{\lambda_1\,e}{sin\,\beta}\right)\,:\,2\,r\,\pi=\left(1-\frac{\lambda_1\,e}{2\,\pi\,r\,sin\,\beta}\right). In diesem Verhältnisse verdecken die Laufradschaufeln abermals den noch freien Umfang des Leitrades. Wenn aber die Laufrad schaufeln, wie gewöhnlich, zugeschärft sind, entfällt die Kontraktion bei dem Ausflüsse, so dass der freie Querschnitt für diesen 2\,r\,\pi\,b\,\left(1-\frac{\lambda\,e_0}{2\,r\,\pi\,sin\,\alpha}\right)\,\left(1-\frac{\lambda_1\,e}{2\,\pi\,r\,sin\,\beta}\right) ist. Weil aber \frac{2\,r\,\pi}{\lambda}=t_0 und \frac{2\,r\,\pi}{\lambda_1}=t ist, wird der freie Austrittsquerschnitt 2\,r\,\pi\,b\,\left(1-\frac{e_0}{t_0\,sin\,\alpha}\right)\,\left(1-\frac{e}{t\,sin\,\beta}\right). Mit Rücksicht darauf, dass die Richtung der Geschwindigkeit v in jedem Punkte des Umfanges den Winkel α mit dem Umfange bildet, findet man das in der Sekunde ausfliessende Wasservolumen, wenn man die Fläche mit derjenigen Komponente der Geschwindigkeit v multipliziert, welche zum Umfange senkrecht gerichtet ist, d.h. mit v sinα. Es ist sonach die aus dem Leitrade in der Sekunde ausfliessende Wassermenge Q_0=2\,\pi\,b_0\,r\,v_0\,sin\,\alpha\,\left(1-\frac{e_0}{t_0\,sin\,\alpha}\right)\,\left(1-\frac{e}{t\,sin\,\beta}\right). Nach den Gl. 2) und 3) ist aber \frac{v_0}{v}=\sqrt{\frac{\zeta_0}{\zeta}} und setzt man noch \left(1-\frac{e_0}{t_0\,sin\,\alpha}\right)\,\left(1-\frac{e}{t\,sin\,\beta}\right)=\vartheta_0 . . 6) dann wird Q_0=2\,\pi\,\sqrt{\frac{\zeta_0}{\zeta}}\,b_0\,\vartheta_0\,r\,v\,sin\,\alpha, woraus b_0=\frac{Q_0}{2\,\pi\,\sqrt{\frac{\zeta_0}{\zeta}}\,\vartheta_0\,r\,v\,sin\,\alpha} . . . . 7) folgt. In das Laufrad tritt im allgemeinen nicht die ganze Wassermenge, weil bei Ueberdruckturbinen ein Teil durch den Spalt verloren geht. Die eintretende Wassermenge ist Q = xQ0, wo x < 1. Diese Wassermenge muss aus dem Laufrade auch ausfliessen. Man findet ähnlich wie für das Leitrad Q=x\,Q_0=2\,\pi\,b_1\,r_1\,\left(1-\frac{\lambda_1\,e_1}{2\,\pi\,r_1\,sin\,\gamma}\right)\,u_1\,sin\,\gamma. Da aber \frac{2\,\pi\,r_1}{\lambda_1}=t_1 die Teilung ist, folgt \vartheta_1=1-\frac{\lambda_1\,e_1}{2\,\pi\,r_1\,sin\,\gamma}=1-\frac{e_1}{t_1\,sin\,\gamma} . . . 8) Damit wird xQ0= 2 πb1 r1 ϑ1 u1 sinγ. Setzt man in diese Gleichung den obigen Ausdruck für Q0 ein, dann wird x\,\sqrt{\frac{\zeta_0}{\zeta}}\,b_0\,\vartheta_0\,r\,v\,sin\,\alpha=b_1\,r_1\,\vartheta_1\,u_1\,sin\,\gamma, woraus u_1\,sin\,\gamma=x\,\sqrt{\frac{\zeta_0}{\zeta}}\,\frac{b_0\,\vartheta_0}{b_1\,\vartheta_1}\,.\,\frac{r}{r_1}\,v\,sin\,\alpha wird. Wir setzen x\,\sqrt{\frac{\zeta_0}{\zeta}}\,\frac{b_0\,\vartheta_0}{b_1\,\vartheta_1}=\frac{1}{\kappa} und \frac{r}{r_1}=\varrho . . . 9) und erhalten u_1\,sin\,\gamma=\frac{\varrho\,v\,sin\,\alpha}{\kappa} . . . . 10) Aus der Gl. 9) folgt die Breite des Laufrades an der Austrittsstelle b_1=\frac{\kappa\,\vartheta_0}{\vartheta_1}\,x\,\sqrt{\frac{\zeta_0}{\zeta}}\,.\,b_0 . . . . 11) Nun kann man u1 cosγ aus der Gl. 1) eliminieren. Es ist nämlich u_1\,cos\,\gamma=\sqrt{{u_1}^2-{u_1}^2\,sin^2\,\gamma}. Hierin setzen wir für u1 den Wert aus Gl. 5) und für u1 sinγ den Wert aus Gl. 10). Es wird u_1\,cos\,\gamma=\sqrt{\sigma\,\left[2\,g\,H_1-\frac{\varrho^2\,v^2\,sin^2\,\alpha}{\sigma\,\kappa^2}+{r_1}^2\,\omega^2-2\,r\,\omega\,v\,cos\,\alpha\right]}. Diesen Ausdruck kann man durch passende Substitutionen sehr vereinfachen. Wir setzen r_1\,\omega=\varphi\,v\,\varrho\,cos\,\alpha;\ \frac{tg^2\,\alpha}{\kappa^2\,\sigma}=\kappa_1 . . . 12) dann wird selbstverständlich rω = φvϱ2 cosα und u_1\,cos\,\gamma=\varrho\,v\,cos\,\alpha\,\sqrt{\sigma\,\left[\frac{2\,g\,H_1}{v^2\,\varrho^2\,cos^2\,\alpha}-\kappa_1-2\,\varphi+\varphi^2\right]}. Wir setzen noch \delta=\frac{2\,g\,H_1}{v^2\,\varrho^2\,cos^2\,\alpha}-\kappa_1 und erhalten hieraus v\,\varrho\,cos\,\alpha=\sqrt{\frac{2\,g\,H_1}{\delta+\kappa_1}} . . . . 13) Auch setzen wir \mbox{somit}\left{{\sqrt{\frac{H_1}{\delta+\kappa_1}=a,}}\atop{0,226\,v\,\varrho\,cos\,\alpha=a}}\right\}\ .\ .\ .\ 14) Ferner ergibt sich u_1\,cos\,\gamma=\varrho\,v\,cos\,\alpha\,\sqrt{\sigma\,[\delta-2\,\varphi+\varphi^2]}. Endlich setzen wir \varepsilon=\sqrt{\sigma\,(\delta-2\,\varphi+\varphi^2)} . . . . 15) womit u1cosγ = εϱvcosα . . . . . 16) wird. Man kann φ den Modulus der Winkelgeschwindigkeit, δ den Modulus der absoluten und ε jenen der relativen Geschwindigkeit nennen. Setzt man den Wert von vϱcosα aus Gl. 13) in die Gl. 12) ein, so erhält man die Winkelgeschwindigkeit des Laufrades \omega=\frac{\varphi}{r_1}\,\sqrt{\frac{2\,g\,H_1}{\delta+\kappa_1}}=\frac{4,43\,\varphi\,a}{r_1}. Weil \omega=\frac{\pi\,n}{30}=\frac{n}{9,55} ist, erhält man die sekundlichen Umdrehungen des Laufrades n=\frac{9,55\,\varphi}{r_1}\,\sqrt{\frac{2\,g\,H_1}{\delta+\kappa_1}}=\frac{42,3\,a\,\varphi}{r} . . 17) Die Beziehung, welche zwischen den Winkeln α und γ besteht, erhalten wir wie folgt. Laut Gl. 16) ist u1cosγ = ϱvcosα . ε; nach Gl. 10) u_1\,sin\,\gamma=\frac{\varrho\,v\,sin\,\alpha}{\kappa}, durch Division wird tg\,\gamma=\frac{tg\,\alpha}{\varepsilon\,\kappa} . . . . . . 18) Der Ausdruck für die Arbeitsleistung des Rades (Gl. 1) ist nur dann gültig, wenn das in das Laufrad strömende Wasser aus der Richtung \underline{A\,D} in Fig. 2 durch Zusammenstoss mit der Schaufel nicht gewaltsam abgelenkt wird. Aus diesem Grunde muss diese Richtung mit der Tangente an das Ende der Laufradschaufel bei \underline{A} zusammenfallen. Aus dem Dreiecke ACD folgt dann vsin (β – α) = rωsinβ, woraus (vcosα – rω) sinβ = vsinαcosβ und tg\,\beta=\frac{tg\,\alpha}{1-\frac{r\,\omega}{v\,cos\,\alpha}}. Setzt man statt r ϱr1 und statt r1 ω den Wert aus Gl. 12), dann wird tg\,\beta=\frac{tg\,\alpha}{1-\varrho^2\,\varphi} . . . . . 19) Nach Gl. 12) ist r1 ω = vϱcosα, somit rω = vϱ2 cosα und nach Gl. 16) u1 cosγ = εϱvcosα. Setzt man diese Werte in die Gl. 1) ein, dann ist die Arbeitsleistung des Rades L=\frac{1000\,Q}{g}\,\varrho^2\,v^2\,cos^2\,\alpha\,(\varphi+\varepsilon\,\varphi-\varphi^2) . 20) Die rohe sekundliche Arbeit des Falles ist aber 1000 Q0 H0 und damit wird der sogen. hydraulische Wirkungsgrad \eta_{\mbox{h}}=\frac{Q\,\varrho^2\,v^2\,cos^2\,\alpha}{Q_0\,H_0\,g}\,\varphi\,(1+\varepsilon-\varphi). Mit Rücksicht auf die Gl. 13), wonach \varrho^2\,v^2\,cos^2\,\alpha=\frac{2\,g\,H_1}{\delta+\kappa_1} ist, wird, wenn wir 2 φ (1 + ε – φ) = ψ . . . . . 21) setzen, der hydraulische Wirkungsgrad \eta_{\mbox{h}}=\frac{Q\,H_1\,\psi}{Q_0\,H_0\,(\delta+\kappa_1)}=\frac{x\,a^2\,\psi}{H_0} . . . 22) 4. Der beste Gang. Den besten Gang nenne ich diejenige Umdrehungszahl, bei welcher die Nutzarbeit am grössten ist, also L ein Maximum wird. Dies tritt ein, wenn der Differentialquotient von L nach w gleich Null wird, d.h. wenn \frac{d\,L}{d\,\varphi}=0 ist. Nach Gl. 20) erhält man \frac{d\,L}{d\,\varphi}=\frac{1000\,Q}{g}\,\varrho^2\,v^2\,cos^2\,\alpha\,\left(1+\varepsilon+\varphi\,\frac{d\,\varepsilon}{d\,\varphi}-2\,\varphi\right)=0 woraus 1+\varepsilon+\varphi\,\frac{d\,\varepsilon}{d\,\varphi}-2\,\varphi=0 folgt. Nach Gl. 15) wird ε2= σ (δ – 2 φ + φ2 ) somit \frac{d\,\varepsilon}{d\,\varphi}=\frac{\sigma\,(\varphi-1)}{\varepsilon}. Dies eingesetzt, wird 1+\varepsilon+\frac{\varphi\,\sigma\,(\varphi-1)}{\varepsilon}-2\,\varphi=0. Nach ε geordnet ist ε2 + (1 – 2 φ) ε + σφ (φ – 1) = 0. Diese Gleichung nach ε aufgelöst, gibt \varepsilon=\varphi-0,5+\sqrt{0,25+(1-\sigma)\,(\varphi-0,5)^2} . 23) Wenn man diesen Wert in die vorhergehende Gleichung einsetzt, kann dieselbe nach δ aufgelöst werden. Wir schreiben statt ε2 = σ (δ – 2 φ + φ2 ) und statt fi obigen Wert, dann wird σ (δ – 2 φ + φ2 ) + (1 – 2 φ) ε + σ (φ2 – φ) = 0 woraus \mbox{und}\left{{\delta=\frac{(2\,\varphi-1)\,\varepsilon}{\sigma}+\varphi\,(3-2\,\varphi)}\atop{\psi=2\,\varphi\,(1+\epsilon-\varphi)\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\right\}\ .\ .\ 24) folgt. Weil diese Gleichung nach φ nicht aufgelöst werden kann, muss man sich mit Tabellen helfen und zwar hat man für jeden Wert von σ eine besondere zu berechnen. Mittels umständlichen und doch nicht ganz einwandfreien Näherungsrechnungen habe ich aus den Versuchen Rittinger's (Theorie und Bau der Rohrturbinen) und Rowlandson's (Berg- und Hüttenmännisches Jahrbuch, XI. Band 1862) ζ0, ζ, ζ1 und σ berechnet und gefunden ζ0 = 0,927; ζ = ζ1 = 0,854; 0,838; 0,854; 0,844 σ = 0,900; 0,855; 0,900; 0,855 δ = 0,904; 0,911; 2,433; 3,995 Mit Rücksicht auf die ungünstigen Konstruktionen der Versuchsturbinen kann man für richtiger ausgeführte die grösseren Werte von ζ und σ beibehalten. Demnach nehme ich ζ0 = 0,93; ζ = ζ, = 0,857; σ = 0,9Bach, Die Wasserräder, schätzt sehr übereinstimmend mit den oben gefundenen Werten ζ= 0,912 . . . 0,932 = 0,827 . . . 0,865σ= 0,90 . . . 0,92.Meissner, Die Hydraulik und die hydraulischen Maschinen, nimmt etwas grössere Werte an.. Hierzu muss bemerkt werden, dass ζ1 nur für vollbeaufschlagte Reaktionsturbinen = 0,857 gesetzt werden kann, für nur teilweise beaufschlagte Räder nimmt ζ1 ab und kann bei grosser Partialität selbst bis nahe an Null sinken. Mit σ = 0,9 erhält man folgende Werte von φ, δ, ε und ψ. φ Δφ ε Δε δ Δδ ψ Δψ – 100 –   91 – 199 – 198 0,1 100 0,091   93 0,199 198 0,198 196 0,2 100 0,184   95 0,397 199 0,394 193 0,3 100 0,279   96 0,596 201 0,587 193 0,4 100 0,375   99 0,797 203 0,780 194 0,5 100 0,474 101 1,000 208 0,974 196 0,6 100 0,575 104 1,208 214 1,170 200 0,7 100 0,679 105 1,422 221 1,370 204 0,8 100 0,784 107 1,643 229 1,574 210 0,9 100 0,891 109 1,872 239 1,784 216 1,0 100 1,000 111 2,111 250 2,000 224 1,1 100 1,111 112 2,361 262 2,224 231 1,2 100 1,223 114 2,623 275 2,455 241 1,3 100 1,337 116 2,898 288 2,696 252 1,4 100 1,453 117 3,186 302 2,948 262 1,5 100 1,570 118 3,488 319 3,210 272 1,6 100 1,688 120 3,807 333 3,482 285 1,7 100 1,808 120 4,140 349 3,767 294 1,8 100 1,928 121 4,489 375 4,061 305 1,9 100 2,049 121 4,854 382 4,366 318 2,0 – 2,171 5,236 – 4,684 – Die Tabelle kann man auch entbehren, wenn man statt von der Bedingung \frac{d\,L}{d\,\varphi}=0 auszugehen, sich damit begnügt, dass die Richtung der absoluten Geschwindigkeit des aus dem Laufrade ausfliessenden Wassers normal gerichtet sei zur Umfangsgeschwindigkeit des Rades, welchen Umstand alle älteren Theorien als Bedingung der grössten Arbeitsleistung des Rades ansehen. Für die vollkommene Maschine stimmt dies auch, wie man aus Gl. 23) ersieht, wenn man σ = 1 setzt. Es wird dann \varepsilon=\varphi-0,5+\sqrt{0,25}=\varphi. Da εvϱcosα = u1 cosγ und φvϱcosα = v 1 ω ist, folgt aus ε = φ, u1 cosγ = r1 ω und aus dem Dreiecke EFG ist ersichtlich, dass dann ∢ FEG = 90°. Setzt man die Bedingung ε = φ . . . . . . . 25) in die Gl. 14), dann folgt \varphi=\sqrt{\sigma\,(\delta-2\,\varphi+\varphi^2)} woraus \left(\frac{1-\sigma}{\sigma}\right)\,\varphi^2+2\,\varphi=\delta . . . . 26) daher \varepsilon=\varphi=\frac{\sigma}{1-\sigma}+\sqrt{\left(\frac{\sigma}{1-\sigma}\right)^2+\left(\frac{\sigma}{1-\sigma}\right)\,\delta} 27) und ψ = 2 φ . . . . . . . 28) Diese Ausdrücke 26), 27), 28) treten an Stelle der Gin. 23) und 24). Man überzeugt sich leicht, dass der Wert von ψ, somit auch der Nutzeffektskoeffizient fast genau derselbe ist, wenn die Werte von σ und δ die nämlichen bleiben. Nehmen wir an, es sei bei σ = 0,9 einmal δ = 2,111, das anderemal δ = 4,854. Nach Gl. 27) ist dann φ = 1 und ψ = 2; im zweiten Falle φ = 2,166 und ψ = 4,332. Nach der Tabelle findet man für die obigen Werte von δψ = 2 bezw. ψ = 4,366. Im ersten Falle ist daher gar kein Unterschied, im zweiten ist derselbe \frac{4,366-4,332}{4,366}=0,008, d.h. bestimmt man die minutlichen Umdrehungen des Rades nach der Annahme der älteren Turbinentheorien, so verliert man höchstens 1 % der erreichbaren grössten Leistung, zumeist ist dieser Verlust aber noch weit kleiner. Bei der Anwendung dieser einfachen Annahme, nämlich dass bei dem besten Gange der Turbine u1 cosγ = r1 ω sein müsse, kann man das unbequeme Wurzelziehen umgehen. Etwas roh angenähert ist \varphi=\frac{\delta}{2+\frac{\sigma-1}{2\,\sigma}\,\delta} . . . . 29) Gut angenähert aber \varphi=\frac{\delta\,\left(1+\frac{\sigma-1}{4\,\sigma}\,\delta\right)}{2\,\left(1+\frac{\sigma-1}{2\,\sigma}\,\delta\right)}=\frac{\delta\,\left(\frac{4\,\sigma}{\sigma-1}+\delta\right)}{4\,\left(\frac{2\,\sigma}{\sigma-1}+\delta\right)} 30) So z.B. für δ = 2 bezw. δ = 5 liefert der Ausdruck unter 30) φ = 0,95 bezw. φ = 2,228. Die richtige Gl. 27) hingegen liefert φ = 0,950 bezw. φ = 2,225. Uebrigens lässt sich aus den gegebenen Formeln zu jeder Umdrehungszahl der Effektskoeffizient und der Wasserverbrauch berechnen, jedoch muss man den Verlust, welchen das Wasser an Druckhöhe erleidet, als es aus dem Leitrade in das Laufrad tritt, schätzungsweise annehmen, weil hierüber Erfahrungsdaten fehlen. Jedenfalls ist dieser Verlust um so grösser, je mehr die Umdrehungszahl von der normalen abweicht. Dabei verursacht eine zu grosse minutliche Umdrehungszahl einen grösseren Verlust als eine zu kleine, weil das Wasser im ersteren Fall an die Rückwand der Schaufel, also der Bewegung entgegenstösst, im letzteren Falle aber auf die Vorderwand, also im Sinne der Bewegung anschlägt. Für eine gegebene Turbine ist α, β und γ konstant. Nach Gl. 18) ist somit \varepsilon=\frac{tg\,\alpha}{\kappa\,tg\,\gamma} auch konstant. Da nun φ gewählt werden kann, folgt nach Gl. 15), dass δ sich ändere und zwar wird \delta=\frac{\varepsilon^2}{\sigma}+2\,\varphi-\varphi^2=\frac{tg^2\,\alpha}{\sigma\,\kappa^2\,tg^2\,\gamma}+2\,\varphi-\varphi^2. Demgemäss gibt die Gl. 13) mit Rücksicht auf den Wert von x1 v=\frac{1}{\varrho\,cos\,\alpha}\,\sqrt{\frac{2\,g\,H_1}{2\,\varphi-\varphi^2+\frac{tg^2\,\alpha}{\sigma\,\kappa^2\,sin^2\,\gamma}}}. Damit wird die Nutzleistung des Rades nach Gl. 20) L=\frac{1000\,Q}{g}\,\frac{(\varphi+\varepsilon\,\varphi-\varphi^2)\,.\,2\,g\,H_1}{2\,\varphi-\varphi^2+\frac{tg^2\,\alpha}{\sigma\,\kappa^2\,sin\,\gamma}} Die minutliche Wassermenge nach Gl. 7) Q = 2 πϑ0 b0 iv0 sinα. Man sieht, je grösser φ wird, d.h. je mehr Umdrehungen das Rad in der Minute macht, desto kleiner wird die verbrauchte Wassermenge, was auch weiland Rittinger's Versuche zeigen. Beim Leerlauf ist die Nutzarbeit Null, also φ (1 + ε – φ) = 0 und da φ nicht Null ist, wird \varphi=1+\varepsilon=1+\frac{tg\,\alpha}{\kappa\,tg\,\gamma}. Ich begnüge mich, diese Beziehungen nur anzudeuten, es ist nicht schwierig, z.B. die Umdrehungszahl und den Wasserverbrauch beim Leerlaufe, freilich nur beiläufig, zu berechnen, weil die besonderen Werte von ζ und σ unbekannt sind. (Schluss folgt.)