Kinematisch-statische Untersuchung des eingemauerten flachen Kreisbogen-Gewölbes. Von Professor G. Ramisch, Breslau. (Fortsetzung von S. 357 d. Bd.) Kinematisch-statische Untersuchung des eingemauerten flachen Kreisbogen-Gewölbes. III. Wenn die Gleichung der Seillinie eine Belastungsfläche η = f (x) lautet und Q die Querkraft innerhalb der Abszisse x ist, so gilt bekanntlich folgende Begehung: h\,\cdot\,\frac{d\,\eta}{d\,x}=Q wobei h der Polabstand für die betreffende Seillinie ist. Wenn nun der Kreisabschnitt Belastungsfläche ist, so ergibt sich, wie leicht ableitbar ist: Q=\frac{1}{3}\,\cdot\,fl-\int_0^x\,\frac{4\,f\,x\,(l-x)}{l^2}\,d\,x indem man dabei bedenkt, dass der flache Kreisbogen als Parabel aufgefasst werden kann und die Gleichung des letzteren y=\frac{4\,f\,x\,(l-x)}{l^2} ist wenn der eine Auflagepunkt, hier A1 Koordinatenanfangspunkt ist. Es ergibt sich daher: h_1\,\cdot\,\frac{d\,\eta_1}{d\,x}=\frac{1}{3}\,\cdot\,f\,l-\frac{2\,f\,\cdot\,x^2}{l}+\frac{4}{3}\,f\,\cdot\,\frac{x^3}{l^2} und durch Integration erhält man endlich die Gleichung der Seillinie: h_1\,\cdot\,\eta_1=\frac{1}{3}\,f\,\cdot\,l\,\cdot\,x-\frac{2}{3}\,f\,\cdot\,\frac{x^3}{l}+\frac{1}{3}\,\frac{f}{l^2}\,\cdot\,x^4 . . . 25) Für dasselbe Koordinatenkreuz ist, wenn die Belastungsfläche A1 G2 A2 ist, zunächst der Auflagedruck gleich \frac{l^2}{6} und es ergibt sich die Querkraft: Q=\frac{l^2}{6}-\frac{x^2}{2} innerhalb der Abszisse x. Wir erhalten also: h_3\,\cdot\,\frac{d\,\eta_3}{dx}=\frac{l^2}{6}-\frac{x^2}{2} woraus durch Integration folgt: h_3\,\cdot\,\eta_3=\frac{l^2}{6}\,\cdot\,x-\frac{1}{6}\,\cdot\,x^3 . . . . 26) Genau so lautet die Gleichung der Seillinie, wenn das Dreieck A1 G1 A2 Belastungsfläche, jedoch der andere Auflagerpunkt A2 Koordinatenanfangspunkt ist. Für den vorhergenannten Koordinatenanfangspunkt A1 ist die Gleichung dagegen: h_2\,\cdot\,\eta_2=\frac{l^2}{6}\,\cdot\,(l-x)-\frac{1}{6}\,\cdot\,(l-x)^3 d.h. h_2\,\cdot\,\eta_2=\frac{1}{6}\,\cdot\,(l^3-l^2\,x-l^3+3\,l^2\,x-3\,l^2\,x+x^3) also: h_2\,\cdot\,\eta_2=\frac{1}{6}\,\cdot\,(2\,l^2\,\cdot\,x-3\,l\,\cdot\,x^2+x^3) . . . . 27) Um die Gleichung der Einflusslinie für H . f aufzustellen, ist nach Formel 11 . h_2=\frac{4}{3}\,\cdot\,f\,\cdot\,l zu wählen. Man erhält: \frac{4}{3}\,f\,\cdot\,l\,\cdot\,\eta_1=\frac{1}{3},f\,\cdot\,l\,\cdot\,x-\frac{2}{3}\,f\,\cdot\,\frac{x^3}{l}+\frac{1}{3}\,\frac{f}{l^2}\,\cdot\,x^4 woraus folgt: \eta_1=l\,\cdot\,\left\{\frac{1}{4}\,\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+\frac{1}{4}\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\} . . . . 28) Ferner ist h2 = 2 . l2 zu nehmen und es entsteht: \eta_2=\frac{l}{12}\,\cdot\,\left\{2\,\left(\frac{x}{l}\right)-3\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+\left(\frac{x}{l}\right)^3\right\} . . . . 29) Dann ist, wie vorhin nach Formel 12) h3 = 2 l2 zu setzen und es ergibt sich: \eta_3=\frac{l}{12}\,\cdot\,\left\{\left(\frac{x}{l}\right)-\left(\frac{x}{l}\right)^3\right\} . . . . 30) Wir haben nun: Z1 = η1 – (η2 + η3) nach Gleichung 22). Also erhält man: Z_1=l\,\left\{\frac{1}{4}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+\frac{1}{4}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\} -\frac{1}{6}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)+\frac{1}{4}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2 -\frac{1}{12}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-\frac{1}{12}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)+\frac{1}{12}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3 d.h.: Z_1=l\,\cdot\,\left\{\frac{1}{4}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2-\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+\frac{1}{4}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\} und nach Formel 13 haben wir: H\,\cdot\,f=15\,\cdot\,P\,\cdot\,l\,\cdot\,\left\{\frac{1}{4}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2-\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+\frac{1}{4}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\} Um die Gleichung der Einflusslinie für V1 zu ermitteln, ist nach Formel 14\,h=\frac{2}{15}\,\cdot\,lf nach Formel 15 h_2=\frac{l^2}{9} und nach Formel 16 h_3=\frac{l^2}{3} zu setzen. Nach Formel 25 ergibt sich: \eta_1=l\,\cdot\,\left\{\frac{5}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)-5\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+\frac{5}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\} . 31) Ferner ist nach Formel 27 \eta_2=l\,\cdot\,\left\{3\,\cdot\,\frac{x}{l}-\frac{9}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}^2+\frac{3}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3\right)\right\} . . 32) und nach Formel 26 \eta_3=l\,\cdot\,\left\{\frac{1}{2}\,\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{1}{2}\,\left(\frac{x}{l}\right)^3\right\} . . 33) und weil Z2 = – η1 + η2 + η3 ist, so entsteht: Z_2=l\,\cdot\,\left\{-\frac{5}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)+5\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-\frac{5}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right \left+3\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{9}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+\frac{3}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3\right\} oder auch: Z_2=l\,\cdot\,\left\{\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{9}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+6\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-\frac{5}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\} und es ergibt sich weiter mittels Formel 17) v_1=P\,\cdot\,l\,\cdot\,\left\{\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{9}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+6\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-\frac{5}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\} . . . . . . II Zur Ermittlung der Einflusslinie für V2 ist nachFormel 18: h_1=\frac{2}{15}\,\cdot\,lf, nach Formel 19: h_2=\frac{l^2}{3} Textabbildung Bd. 319, S. 370 Fig. 3. Textabbildung Bd. 319, S. 370 Fig. 4. und nach Formel 20: h_3=\frac{l^2}{9} zu nehmen. Man erhält mittels Formel 25. \eta_1=l\,\cdot\,\left\{\frac{5}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)-5\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+\frac{5}{2}\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\} . 34) Textabbildung Bd. 319, S. 370 Mit Formel 27 erhält man weiter: \eta_2=l\,\cdot\,\left\{\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{3}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3\right\} . . . 35) und mit Formel 20: \eta_3=l\,\cdot\,\left\{\frac{3}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{3}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3\right\} . . . . 36) Nunmehr haben wir nach Formel 24: Z_3=l\,\cdot\,\left\{-\frac{5}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)+5\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-\frac{5}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right \left+\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{3}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+\frac{3}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{3}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3\right\} oder auch: Z_3=l\,\cdot\,\left\{-\frac{3}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+4\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-\frac{5}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\} Nach Formel 21 entsteht endlich: V_2=P\,\cdot\,l\,\cdot\,\left\{-\frac{3}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+4\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-\left(\frac{5}{2}\right)\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\} . . . . III Die Formel I dient zur Zeichnung der Einflusslinie für H . f; woraus man die Horizontalkraft H berechnen kann. Zu dem Zwecke setze man: 15\,\cdot\,l\,\cdot\,\left\{\frac{1}{4}\,\left(\frac{x}{l}\right)^2-\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+\frac{1}{4}\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\} und hat: H . f = P . Z. Nimmt man der Reihe nach \frac{x}{l}= 0,0, 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9, und 1,0, so erhält man hezw. \frac{z}{l}=, 0,030375, 0,0960, 0,165375, 0,2160, 0,234375, 0,2160, 0,165375, 0,0960, 0,030375 und 0. Hiernach ist für die elastische Linie in Fig. 2 die Einflusslinie für Hf in Fig. 4 dargestellt worden. Befinden sich demnach auf dem Gewölbe die Lasten P1, P2, P3 und P4 und sind die zugehörigen Ordinaten in der Einflussfläche Z1, Z2, Z3 und Z4, so üben dieselben in A1 und in A2 die wagerechte Schübe: H=\frac{1}{f}\,\cdot\,(P_1\,\cdot\,Z_1+P_2\,\cdot\,Z_2+P_3\,\cdot\,Z_3+P_4\,\cdot\,Z_4) aus. Ist das Gewölbe mit g für die Längeneinheit belastet, so wird, wenn F den Inhalt der Einflussfläche ist, der wagerechte Schub: H=\frac{g\,\cdot\,F}{f} erzeugt. Es ist nun: F=15\,\int_0^1\,\left\{\frac{1}{4}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2-\frac{1}{2}\,\cdot\,(\frac{x}{l})^3+\frac{1}{4}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\}\,dx=\frac{1}{8}\,l^2 also entsteht: H=\frac{1}{8}\,\cdot\,\frac{gl^2}{f} Da gl die Gesamtbelastung G ist, so hat man auch: H=\frac{1}{8}\,G\,\cdot\,\frac{l}{f} Genau denselben Wert erhält man, wenn das Gewölbe nicht eingemauert, sondern mit Kämpfergelenken versehen ist. Es erklärt sich dies hieraus, dass für eine gleichmässig verteilte Last die Parabel, also angenähert der flache Kreisbogen Stüzlinie ist. Die Formel II benutzt man zur Zeichnung der Einflusslinie für das Biegungsmoment am Auflager bei A1. Zu dem Zwecke setze man n\,\cdot\,l\,\cdot\,\left\{\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{9}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+6\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-\frac{5}{2}\,\left(\frac{x}{l}\right)^3\right\}=Z und hat V_2=\frac{P\,\cdot\,Z'}{n} Setzt man wiederum der Reihe nach \frac{x}{l}= 0,0, 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9 und 1,0, so erhält man entsprechend für \frac{Z'}{l}= ± 0, + 0,06075, + 0,064, + 0,3675, ± 0, – 0,03125, – 0,0480, + 0,04725, – 0,0320, – 0,01125 und ± 0. Hiernach ist für die elastische Linie in Fig. 3 die Einflusslinie für V1 in Fig. 5 gezeichnet worden. Alle Ordinaten unter der Grundlinie \overline{a'_1\,a'_2} sind positiv und über der Grundlinie negativ. Befinden sich demnach auf dem Gewölbe die Lasten P1, P2, P3 und P4 und sind die zugehörigen Ordinaten in der Einflussfläche Z'1, Z2', Z'3 und Z'4 so üben dieselben im Auflager A1 das Biegungsmoment: V_1=\frac{1}{n}\,\cdot\,P_1\,\cdot\,Z'_1+P_2\,\cdot\,Z'_2-P_3\,\cdot\,Z'_3-P_4\,\cdot\,Z'_4 aus. Hierbei ist n eine beliebige und am vorteilhaftesten ganze Zahl und sie ist deswegen genommen, um längere Ordinaten der Einflusslinie zu erhalten, als wenn man n = 1 gewählt hätte. Ist das Gewölbe mit g für die Längeneinheit gleichmässig belastet und ist F' der Inhalt der Einflussfläche, so ergibt sich das Biegungsmoment in A1 V_1=g\,\cdot\,\frac{F'}{n}. Es ist jedoch: F'=n\,\cdot\,l\,\int_0^1\,\left\{\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{9}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+6\,\cdot\,\left(\frac{x}{2}\right)^3-\frac{5}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{2}\right)^4\right\}\,dx=0 und es entsteht: V1 = 0. Die gleichmässig verteilte Belastung übt also kein Biegungsmoment in A1 aus, was ja auch erklärlich ist; denn weil der flache Kreisbogen Stützlinie der gleichmässig verteilten Belastung ist, so werden in jedem Querschnitte nur gleichmässig verteilte Druckspannungen und nicht Biegungsspannungen, welche sich aus Zug- und Druckspannungen zusammensetzen, ausgeübt. Es wird sich deswegen auch kein Biegungsmoment im anderen Auflager ergeben. Die Formel III wird zur Zeichnung der Einflusslinie für V2 zu benutzen sein. Zu dem Zwecke setze man: n\,\cdot\,l\,\cdot\,\left\{-\frac{3}{2}\,\left(\frac{x}{2}\right)^2+4\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-\frac{5}{2}\,\left(\frac{x}{2}\right)^4\right\}=Z'' und erhält V_2=\frac{P}{n}\,\cdot\,Z'' Hierbei ist wiederum n eine beliebige am vorteilhaftesten ganze Zahl, um grosse Ordinaten für die Einflusslinie zu erhalten. Nimmt man auch hier der Reihe nach \frac{x}{l}= 0,0, 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9 und 1,0, so erhält man entsprechende \frac{Z''}{l}= ± 0, – 0,01125, – 0,0320, – 0,04725, – 0,48, – 0,03125, ± 0, + 0,03675, + 0,0640, + 0,06075 und ± 0. Hiernach ist für die elastische Linie in Fig. 3 die Einflusslinie für das Biegungsmoment V2 in Fig. 6 gezeichnet worden. Alle Ordinaten unter der Grundlinie \overline{A''_1\,A''_2} sind positiv und über der Grundlinie negativ. Befinden sich demnach die Lasten P1, P2, P3 und P4 auf dem Gewölbe und sind die zugehörigen Ordinaten in der Einflussfläche Z''1, Z''2, Z''3 und Z''4, so über dieselben im Auflager A2 das Biegungsmoment: V_2=\frac{1}{n}\,\cdot\,\left(-P_1\,Z_1-P_2\,Z_2+P_3\,Z_3+P_4\,Z_4\right) aus. Ist das Gewölbe mit g für die Längeneinheit gleichmässig belastet, so ergibt sich, wenn F'' der Inhalt der Einflussfläche ist, für das Biegungsmoment in A2. V=g\,\cdot\,\frac{F''}{n} Es ist jedoch: F''=n\,\cdot\,l\,\cdot\,\int_0^1\,\left\{-\frac{3}{2}\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+4\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-\frac{5}{2}\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\}\,dx und es entsteht, wie wir es auch nicht anders erwartet hatten: V2 = 0. Was nun die beiden letzten Einflussflächen anbelangt, so ist die eine das Spiegelbild der anderen und bei jeder sind die Flächenteile über und unter der Grundlinieeinander gleich. In Fig. 5 reicht der untere Flächenteil von a'1 bis b' und der obere von b' bis b'2; hierhei ist \overline{a'_1\,b'_1}=0,4\,l und \overline{b'\,a'_2}=0,6\,l. Belastet man das Gewölbe entweder zwischen a'1 und b' oder zwischen b' und a'2 allein, so werden in beiden Fällen entgegengesetzte Biegungsmomente in A1 hervorgebracht. Im ersten Falle werden die oberen Fasern des Querschnitts bei A1 gezogen und die unteren gedrückt und im zweiten Falle werden die oberen Fasern gedrückt und die unteren gezogen und hierin liegt die Bedeutung für die verschiedenen Vorzeichen der Biegungsmomente. Belastet man das Gewölbe von a'1 bis b' oder von b' bis a'2 gleichmässig, so werden in dem Querschnitte von A1 die grössten von gleichmässiger Belastung herrührenden Biegungsmomente erzeugt. Dieselben sind entgegengesetzt einander gleich und jedes hat den absoluten Wert: G\,\cdot\,\int_0^{0,41}\,\left\{\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{9}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+6\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3\,\frac{5}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\}\,dx oder: G\,\cdot\,\int_0^{0,61}\,\left\{-\frac{3}{2}\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+4\,\cdot\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-\frac{5}{2}\,\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\}\,dx Man erhält dafür V1 = 0,01728 G . l. Wenn in A1und A2Gelenke vorhanden sind, so ist das Höchstbiegungsmoment, welches von gleichmässiger Belastung herrührt, nur 0,01650 G . l, also kleiner als V1. Dasselbe erhält man in diesem Falle auch dann, wenn von dem einen Ende an nur 0,4 der Spannweite belastet ist, jedoch ist es nicht am Kämpfer, sondern an einer anderen Stelle des Bogens, wo – ist hier ohne Belang. Es ist nun vorläufig noch unentschieden, ob V1 das Höchstbiegungsmoment ist. Man kann aber schon sagen, dass die Verwendung des Bogens nid Kämpfergelenken vorteilhafter ist, wenigstens soweit es sich um gleichmässig verteilte Belastung handelt. Aehnlich sind die Betrachtungen für V2; auch dieses Biegungsmoment hat 0,01728 G . l zum grössten Wert bei gleichmässiger Belastung und findet statt, wenn 0,4 der Spannweite des Bogens von A2 an oder 0,6 der Spannweite von A1 an belastet ist. Im übrigen gelten dieselben Bemerkungen für V2, wie wir sie für V1 gemacht hatten. – Wie zu verfahren sein wird, wenn auf dem Bogen bewegliche Lasten enthalten sind, um die Höchstbiegungsmomente in A1 und A2 zu erhalten, braucht wohl nicht besonders erwähnt zu werden. Endlich sei noch bemerkt, dass, wenn sich über b' in Fig. 5 eine Belastung befindet, hierfür V1 = 0, wenn sich über b'' in Fig. 6 eine Belastung befindet. (Schluss folgt.)