Die günstigsten Kurbelwinkel für stationäre Mehrkurbelmaschinen. Von Reinhold Rüdenberg, Hannover. Die günstigsten Kurbelwinkel für stationäre Mehrkurbelmaschinen. Bei ortsfesten Dampfmaschinen, die zum Betriebe von Fabriken oder für elektrischen Antrieb dienen, ist ein Schwungrad erforderlich, das die Schwankungen im Drehmomente bis zu einem gewissen Grade ausgleicht und daher die Winkelgeschwindigkeit der Antriebswelle ziemlich gleichförmig macht. Die Grösse dieses Schwungrades richtet sich einerseits nach dem Arbeitszweck und dem für diesen noch zulässigen Ungleichförmigkeitsgrade der Drehung, andererseits nach dem Drehkraft-Diagramm der vorlegenden Maschine, das die tangentiale Kurbelkraft als Punktion des Drehwinkels darstellt. Der zeitweilige Ueberschuss der Dampfarbeit über die Widerstandsarbeit der antreibenden Maschine wird im Schwungrade aufgespeichert, um während eines folgenden Zeitabschnittes den Mangel zu decken. Betrachten wir als häufig vorliegenden Fall eine doppeltwirkende Einzylinder-Dampfmaschine, so stellt uns das Drehkraft-Diagramm eine Wellenlinie dar, die während eines Umlaufes zwei Minima in den Totpunkten, und zwei Maxima in zwei dazwischen liegenden Kurbelstellungen besitzt. Die Kurve des Widerstandsdruckes ist in erster Annäherung eine Gerade und gleich der mittleren Höhe der Wellenlinie, wenn der Beharrungszustand eingetreten ist. Genau genommen ist die Kurve des Widerstandes meist nicht unabhängig von der Drehkraftkurve, doch sind die Aenderungen nur klein, jedenfalls ändert dies nichts am Prinzip der späteren Betrachtungen. Die Arbeit, die im Schwungrade aufzuspeichern ist, ist bekanntlich gleich der Fläche, die zwischen der Drehkraft- und der Widerstandskurve liegt, wenn diese im entsprechenden Maasstabe gemessen wird. Dabei ist nicht eine beliebige Fläche zu nehmen, sondern die grösste algebraische Summe mehrerer aufeinander folgender Flächen ist der Berechnung zugrunde zu legen. Je kleiner diese Fläche ist, um so kleiner im unmittelbaren Verhältnisse darf man das Schwungrad ausführen, um noch eine bestimmte Gleichförmigkeit der Drehung zu erzielen. Man wird sich also stets bemühen, durch passende Annahme der Geschwindigkeiten, der Füllungen usw. die Drehkraftkurve möglichst geradlinig verrufen zu lassen, da dann die überschiessenden Flächen klein werden. Hierauf hat wohl zuerst RadingerRadinger, Dampfmaschinen mit hoher Kolbengeschwindigkeit, 1892. S. 91. in seinem bahnbrechenden Werke hingewiesen, in dem er sogar eine „Geschwindigkeit gleichmässigster Drehkraft“ berechnet. Weit günstiger als bei Einzylindermaschinen liegen diese Verhältnisse bei Zwei- und Mehrkurbelmaschinen, bei denen man es in der Hand hat, durch passende Ueberdeckung der Diagramme eine ziemlich gleichmässige resultierende Drehkraft zu erzielen. Gewöhnlich nimmt man an, dass dieser Ausgleich am besten sei. wenn mandie Kurbeln um 90° bezw. 120° gegeneinander versetzt, da dann der Mangel an der einen Kurbel mit dem Ueberschusse an der anderen zeitlich zusammenfiele. Schon Radinger betont, dass dies nicht unter allen Umständen zutrifft, auch findet man hier und da wenige Zweikurbelmaschinen mit anderen Kurbelwinkeln als 90° ausgeführt. Dass das resultierende Drehkraft-Diagramm bei verschiedenen Kurbelwinkeln verschieden gut ausfallen wird, ist ja einleuchtend, da aber die Diagramme im allgemeinen unregelmässige Kurven darstellen, die keinerlei Symmetrie zeigen, so wird meist eine Kurbelversetzung von 90° noch nicht die günstigste sein. Um nun diesen „günstigsten Kurbelwinkel“, wie wir ihn nennen wollen, zu bestimmen, verfährt man gewöhnlich so, dass man sich die resultierenden Drehkraftlinien für eine grössere Anzahl von Winkeln aufzeichnet, dieselben planimetriert und den günstigsten Fall heraussucht. Vorausgesetzt wird natürlich, dass der Kurbelwinkel nicht schon durch andere Rücksichten, als die hier erörterten, festliegt, was aber selten der Fall ist. Schon bei Zweikurbelmaschinen ist dies Verfahren sehr mühsam und nimmt viel Zeit in Anspruch, bei Dreikurbelmaschinen aber ist eine solche Menge von Kombinationen möglich, dass man sich nur schwer durch sie hindurchwinden wird, obgleich gerade hier der Mühe reicher Lohn winkt. Noch schlimmer ist es bei Vierkurbelmaschinen, die aber als ortsfeste Maschinen kaum vorkommen. Um diese umständliche Bestimmung der günstigsten Kurbelwinkel auf graphischem Wege zu vermeiden, habe ich versucht, sie rechnerisch festzulegen. Der erste Schritt hierfür ist natürlich, die graphisch gegebene Grösse, hier das Tangentialdruck-Diagramm, in eine für die Rechnung brauchbare Formel zu bringen. Bei dem rein periodischen Charakter des Vorganges – denn andere Veränderungen können garnicht vorher bestimmt werden und sind zu starkem Wechsel unterworfen – wird man, wie es bereits von verschiedenen Seiten geschehen, natürlich das Fouriersche Theorem anwenden, das besagt: Jede periodische Veränderung kann aufgefasst werden als Resultat einer Summe von Sinusschwingungen, deren einzelne Perioden in ganzzahligen Verhältnissen zu einander stehen, und deren Amplituden konstante Grössen sind, die sich für einen bekannten Vorgang bestimmen lassen. Wir können also den Tangentialdruck an einer Kurbel darstellen als Funktion des Drehwinkels durch eine Reihe von der Form: A0 + A1 . cos φ + A2 cos 2 φ + A3 cos 3 φ +. . . + B1 sin φ + B2 sin 2 φ + B3 sin 3 φ + . . . Wieviel Glieder der Reihe, die streng genommen unendlich ist, man nehmen will, richtet sich nach dem Grade der gewünschten Annäherung an die vorliegende Drehkraftkurve, Das grösste Glied wird ausser der Konstanten offenbar die Schwingung zweiter Ordnung sein, aber auch die von vierter Ordnung kann, wenn starker Massendruck vorhanden ist, recht beträchtlich werden. Die Glieder von ungerader Ordnungszahl werden, wie mathematische Erörterungen zeigen, lediglich durch die Verschiedenheit der beiden Diagrammhälften hervorgerufen, sind also auf die endliche Länge der Schubstange, das Kolbengewicht bei stehenden Maschinen usw., zurückzuführen. Sie dürfen keinesfalls vernachlässigt werden, will man einigermassen genau rechnen. In den späteren Rechnungen benutze ich die Reihe bis zum fünften Gliede einschliesslich; das letztere fällt schon ziemlich klein aus und könnte allenfalls gestrichen werden. Von hier ab konvergiert die Reihe sehr schnell. Noch weiter zu gehen, hat aus dem Grunde keinen Zweck, weil das gegebene Drehkraft-Diagramm doch nur für eine ganz bestimmte Belastung gilt, für jedes andere Diagramm ändern sich aber die harmonischen Glieder höherer Ordnung ungleich stärker als die von niedriger. Ueberhaupt gelten die zu ermittelnden günstigsten Kurbelwinkel, der Annahme entsprechend, genau nur für diese bestimmte Belastung der Maschine, unter der weiteren Voraussetzung, dass das entworfene Drehkraft-Diagramm den tatsächlichen Verhältnissen genau entspricht. Mit demselben Rechte aber, mit dem man das Diagramm der üblichen Schwungradberechnung zugrunde legt, darf man aus demselben auch die Kurbelwinkel berechnen, nur muss man sich von vornherein darüber klar sein, dass die Resultate keine mathematisch exakten sind. Die Forderung nach einem möglichst starken Ausgleich der Schwankungen des Drehmomentes ist nicht mehr neu. Bei Schiffsmaschinen kam man schon vor längerer Zeit auf den Gedanken, die Erzitterungen des ganzen Schiffskörpers durch Erzielung gleichförmiger Antriebskraft zu vermindern. Erneutes Interesse gewann das Problem durch die Versuche Frahms, der das Rätsel der Schiffswellenbrüche auf den ungleichförmigen Antrieb und die Resonanz mit Eigenschwingungen zurückführte. Da bei Schiffsmaschinen die Kurbelwinkel meist durch den Schlickschen Massenausgleich festgelegt sind, so gibt Prof. LorenzLorenz, Dynamik der Kurbelgetriebe, S. 103. eine sehr einfache Formel für diejenige Verteilung der Gesamtarbeit auf die einzelnen Zylinder, für die obige Forderung möglichst erfüllt wird, die Arbeitsverteilung hängt dann von den gewählten Winkeln ab. Nun wird man sich bei ortsfesten Maschinen nicht gern an eine bestimmte Arbeitsverteilung binden, sondern lieber umgekehrt die Winkel berechnen, da hier ein Massenausgleich nur selten in Frage kommt. Einer einfachen Uebertragung der Lorenzschen Theorie steht aber der Umstand im Wege, dass dieselbe auf Grundlagen beruht, die bei Schiffsmaschinen sehr wohl, bei ortsfesten Maschinen aber fast nie zutreffen. Voraussetzung der ganzen Rechnung ist nämlich, dass die Kurbelwinkel bereits auf Massenausgleich berechnet sind, was bekanntlich nur für Vierkurbelmaschinen möglich ist. In der Fourierschen Reihe für die Drehkraft darf man dann dem zweiten Gliede gegenüber alle anderen vernachlässigen, da diese bei Massenausgleich im Resultate nur sehr klein sind. Die Schlüsse, die Lorenz auf Zwei- und Dreikurbelmaschinen zieht, dass hier bei gleicher Arbeitsverteilung die günstigsten Winkel stets 90° bezw. 120° betragen, sind dementsprechend nicht allgemein richtig. Lorenz setzt ferner voraus, dass sämtliche Drehkraft-Diagramme einander ähnlich sind, ersetzt die Drehkraft = Tm (1 – cos 2 φ). Dies trifft allgemein auch nicht zu, sondern oft liegt beim Hochdruck-Diagramm der Buckel nach hinten, beim Niederdruck-Diagramm nach vorn verschoben. Wir werden sehen, dass auch hierdurch gerade andere Winkel empfehlenswert sind. Die Lorenzsche Formel, die auf vierkurbelige Schiffsmaschinen zugeschnitten ist dürfen wir also auf zwei- und dreikurbelige ortsfeste Maschinen nicht übertragen. Ich werde mich auf diese beiden Maschinenarten beschränken, da sie die am meisten vorkommenden sind. Textabbildung Bd. 319, S. 418 Für Schwungradmaschinen hätte man nach dem oben Gesagten die Forderung des Ausgleichs folgendermassen zu stellen, falls man ganz streng verfahren wollte: Die Kurbelwinkel sollen so gewählt werden, dass im resultierenden Drehkraft-Diagramm die grösste überschiessende Fläche (inbezug auf die gerade Widerstandslinie) f ein Minimum wird (Fig. 1c). Also, wenn Δ T den jeweiligen Druckunterschied bedeutet, den das Schwungrad aufnimmt bezw. abgibt, soll f=\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\,\Delta\,T\,\cdot\,d\varphi ein Minimum sein. Um die Methoden der Differentialrechnung anwenden zu können, müsste man f als Funktion der Kurbelwinkel darstellen und nach diesen differentiieren. Nun ist aber zu beachten, dass erstens die Integrationsgrenzen φ1 und φ2 nicht gleichbleibend sind, sondern selbst von den Kurbelwinkeln abhängen, und zweitens, dass f gar keine stetige Funktion der Kurbelwinkel ist, dass man also garnicht durch Differentiation das Minimum aufsuchen kann. In Fig. 2b ist für einen später zu behandelnden Fall einer Zweikurbelmaschine die grösste Fläche abhängig vom Kurbelwinkel α aufgetragen; man sieht, an einer. Stelle ist ein analytisches Minimum vorhanden, das andere wird durch einen Knick gebildet. Aber auch schon die veränderlichen Integrationsgrenzen würden das Problem mathematisch zu einem unlösbaren machen. Nun können wir unsere Forderung aber auch noch anders fassen, wodurch sie allerdings einen etwas anderen Sinn erhält. Wir können sagen: die Drehkraftlinie soll sich einer Geraden möglichst anschmiegen. Dann können unmöglich grosse Ueberschussflächen entstehn. Diese Gerade wird natürlich die Widerstandslinie sein, mit der das Diagramm im idealen Falle gleichbedeutend würde, meist wird es sich jedoch nur um dieselbe herumschlängeln. Nach dem Prinzipe der kleinsten Quadrate, ist nun die mittlere Abweichung oder der mittlere Fehler des Diagrammes: die Quadratwurzel aus dem Mittel der Quadrate aller einzelnen Abweichungen der Drehkraftlinie von der Geraden, oder m^2=\frac{1}{2\,\pi}\,\int_0^{2\,\pi}\,(\Delta\,T)^2\,\cdot\,d\varphi . . . . 1) Danach müssen wir die Kurbelwinkel so wählen, dass dieser mittlere Fehler oder, was dasselbe sagt, sein Quadrat möglichst klein wird. Der Zusammenhang dieses Ausgleichgesetzes mit dem vorigen ergibt sich, wenn man nicht wie dort setzt: \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\,\Delta\,T\,\cdot\,d\varphi=\mbox{Minimum}, sondern \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\,(\Delta\,T)^2\,\cdot\,d\varphi=\mbox{Minimum}. Textabbildung Bd. 319, S. 419 Man hat dann den Vorteil, nur mit positiven Grössen zu operieren, und da man dies Gesetz auch auf die übrigen Flächen anwenden muss – denn diese könnten Ja bei Veränderung der Kurbelwinkel die grössten werden – so ergibt sich durch einfache Summierung über die ganze Periode die Uebereinstimmung mit der letzten Formel, bis auf den unwesentlichen Faktor 2π. Die veränderlichen Integrationsgrenzen sind bei der Addition herausgefallen. Da wir die Quadratflächen (f' in Fig. 1d) möglichst klein machen wollen, so ist es klar, dass auch f klein sein muss, obgleich das Minimum nicht notwendig übereinzustimmen braucht. In der ganzen Periode von 0 bis 2π ist m2 eine stetige Funktion der Kurbelwinkel, so- dass man differentiieren darf, um das Minimum zu bestimmen. Um einen Vergleich zu ermöglichen, ist in Fig. 2sowohl m2 als auch die grösste Ueberschussfläche f als Funktion des Kurbelwinkels für die erwähnte Maschine aufgetragen. In diesem Falle tritt ein Minimum für f und m2 zweimal ein und zwar für beide Grössen bei denselben Kurbelwinkeln, was als Prüfstein für die Zulässigkeit des Ansatzes gelten mag. Im allgemeinen wird der errechnete Winkel nicht so genau mit dem durch Probieren zu findenden übereinstimmen, jedoch ist bei den unsicheren Grundlagen der ganzen Rechnung, dem Drehkraft-Diagramme, nach dem oben Gesagten übergrosse Genauigkeit nicht notwendig. Unser resultierendes Drehkraft-Diagramm können wir, genau so wie seine Komponenten oben, als periodische Reihe darstellen. T (φ) bezeichnet die Drehkraft der gesamten Maschine vor der Einleitung in das Schwungrad, die bei dem jeweiligen Drehwinkel φ der Kurbel vorhanden ist T (φ) = T0+ T'1 cos φ + T'2 cos 2 φ + T'3 cos 3 φ + . . . + T''1 sin φ + T''2 sin 2 φ+ T''3 sin 3 φ . . . Der einfacheren Rechnung wegen wollen wir dies schreiben in der Form: T (φ) = T0+ T1 sin (φ + ψ1) + T2 sin (2 φ + ψ2) + T3 sin (3 φ + ψ3) +. . . oder allgemein: T (φ) =T0+ ΣnTn sin (n φ + ψn) . . 2) Dann bedeutet bekanntlich: T_n=\sqrt{{T_n}'^2+{T_n}''^2} die Amplitude der nten Harmonischen, \psi_n=\mbox{arctg }\frac{T'_n}{T''_n} ihre Phasenverschiebung gegen den Nullpunkt. Beide, Tn und ψn sind natürlich abhängig von den „Kurbelwinkeln“, d.h. von den Versetzungswinkeln zweier Kurbeln, unabhängig dagegen von dem zeitlich veränderlichen „Drehwinkel“ der Kurbel, Diese beiden Ausdrücke mögen streng unterschieden werden, da sie gänzlich verschiedene Dinge darstellen. Durch Integration von T (φ) über die ganze Periode ergibt sich, da \int_0^{2\,\pi}\,T_n\,\mbox{sin}\,n\,\varphi\,\cdot\,d\varphi-0, T_0=\frac{1}{2}\,\pi\,\int_0^{2\,\pi}\,T(\varphi)\,\cdot\,d\varphi . . . . 3) d.h. T0 ist gleich der mittleren Höhe des Diagrammes oder gleich dem konstanten Widerstandsdrucke der getriebenen Maschine. Man erhält also, wie leicht zu ersehen: T (φ) – T0= ΔT = ΣnTn . sin (n φ + ψn). Um das oben definierte mittlere Fehlerquadrat zu bestimmen, haben wir zu bilden: m^2=\frac{1}{2\,\pi}\,\int_0^{2\,\pi}\,\left\{\Sigma_n\,T_n\,\mbox{sin}\,(n\,\varphi+\varphi_n)\right\}^2\,\cdot\,d\varphi =\frac{1}{2\,\pi}\,\int_0^{2\,\pi}\,\left\{T_1\,\mbox{sin}\,(\varphi+\psi_1)+T_2\,\mbox{sin}\,(2\,\varphi+\psi_2)+...\right\}^2\,\cdot\,d\,\varphi Da das Integral über die ganze Periode, genommen von einem Produkt zweier Sinus mit verschiedener Periode, verschwindet, also: \int^{2\,\pi}\,\mbox{sin}\,(p\,\varphi+\varphi_p)\,\cdot\,\mbox{sin}\,(q\,\varphi+\psi_q)\,d\varphi=0 ist, so bleiben nur die Quadrate auf der rechten Seite stehen m^2=\frac{1}{2\,\pi}\,\int_0^{2\,\pi}\,\left\{{T_1}^2\,\cdot\,\mbox{sin}^2\,(\varphi+\psi_1)+{T_2}^2\,\cdot\,\mbox{sin}^2\,(2\,\varphi+\psi_2)+...\right\}\,d\varphi Ferner ist: \int_0^{2\,\pi}\,\mbox{sin}^2\,(m\,\varphi+\psi_m)=\pi, also m^2=\frac{1}{2}\,({T_1}^2+{T_2}^2+{T_3}^2+...)=\frac{1}{2}\,\Sigma_n\,{T_n}^2 . 4) Die mittlere Abweichung hängt also nur von den Amplituden der Harmonischen ab, nicht von ihren Phasenverschiebungen, ein Resultat, das den Wechselstrom-Elektrotechnikern, die sich mit periodischen Reihen beschäftigen, längst bekannt sein wird. Die Integrationen hätten auch ohne weiteres aus der Theorie der harmonischen Funktionen übernommen werden können, sie sind nur im Interesse der Vollständigkeit kurz angeführt. Die Forderung des Ausgleichs schreibt uns also vor, die einzelnen Drehkraft-Diagramme so gegeneinander zu versetzen, dass die Summe der Quadrate der Amplituden aller einzelnen Harmonischen möglichst klein wird. Wir hätten also die Amplituden als Funktion der Kurbelwinkel darzustellen, um darauf die Ausdrücke \frac{d}{d\,\alpha}\,\Sigma_a\,{T_n}^2;\ \frac{d}{d\,\beta}\,\Sigma_n\,{T_n}^2 bilden zu können, wenn α, β die Kurbelwinkel bezeichnen. Die Rechnung möge zuerst für eine Zweikurbelmaschine durchgeführt werden. Das Drehkraft-Diagramm der Kurbel I (z.B. der Hochdruckkurbel) Fig. la sei dargestellt durch die Reihe: F (φ) = A0 + ΣnAn cos n φ + ΣnBn sin nφ . 5) das der Kurbel II (der Niederdruckkurbel) Fig. 1b durch: G (φ) = C0 + ΣnCn cos n φ + ΣnDn sin n φ . . 6) Diese beiden Funktionen F (φ) und G (φ) sind völlig unabhängig voneinander und sagen über die spezielle Form der Diagramme garnichts aus, solange man mit den unbestimmten Amplituden rechnet. Durch Einsetzen von Zahlenwerten für dieselben schmiegen sich die Funktionen jedoch jeder gegebenen Drehkraftkurve beliebig genau an. Die resultierende Drehkraft setzt sich nun zusammen aus der Summe der einzelnen, Fig. 1c, jedoch so, dass die Kurbel I den Winkel φ erreicht hat, wenn Kurbel II erst beim Winkel φ – α steht, α ist dann der Versetzungswinkel der beiden Kurbeln, I eilt vor, II eilt nach. Wir haben also zu schreiben: T (φ) = F (φ) + G (φ – α) oder nach Einsetzen der Reihenausdrücke: \left\{\left{{+A_0+\Sigma_n\,A_n\,\mbox{cos}\,n\,\varphi+\Sigma_n\,B_n\,\mbox{sin}\,n\,\varphi}\atop{+C_0+\Sigma_n\,C_n\,\mbox{cos}\,n\,(\varphi-\alpha)+\Sigma_n\,D_n\,\mbox{sin}\,n\,(\varphi-\alpha)}}\right\right\}\ .\ 7) Damit die weitere Rechnung durchsichtig bleibt, führe ich sie nur für das allgemeine Glied mit dem Indexe n durch. Es ist also, wenn die Funktionen der Winkeldifferenz aufgelöst werden und noch alle Glieder nach sin φ und cos φ geordnet werden: +\Sigma_n\left\{\left{{+(A_n+C_n\,\mbox{cos}\,n\,\alpha-D_n\,\mbox{sin}\,n\,\alpha)\,\mbox{cos}\,n\,\varphi}\atop{+(B_n+C_n\,\mbox{sin}\,n\,\alpha+D_n\,\mbox{cos}\,n\,\alpha)\,\mbox{sin}\,n\,\varphi}}\right\right\}\ .\ 8) Der Vergleich mit der früher angenommenen Formel für T (φ): T (φ) = T0 + ΣnTn' cos n φ + ΣnTn'' sin nφ ergibt, da beide Formeln für jeden Drehwinkel φ gelten müssen, die Uebereinstimmung der konstanten Koeffizienten, also: T0 = A0 + C0 Tn' = An + Cncos n α – Dn sin n α 9) Tn'' = Bn + Cncos n α – Dn sin n α Die erste Gleichung wäre auch ohne mathematische Ableitung zu erkennen, sie zeigt, dass die Arbeitsleistung der Maschine unabhängig von α ist; die beiden letzteren lassen sich noch zusammenfassen zu: Tn2= (An + Cn cos n α – Dn sin n α)2 + (Bn + Cn sin n α + Dn cos n α)2 Die Ausquadrierung ergibt: Tn2= An2+ Bn2+ Cn2 + Dn2 . . 10) + 2 (AnCn + BnDn) cos n α – 2 (An Dn – Bn Cn) sin na Diese Gleichung gibt uns den Zusammenhang der Amplituden der Harmonischen im resultierenden Drehkraftdiagramm mit dem Kurbelwinkel. Um den günstigsten zu bestimmen, differenzieren wir ΣnTn2 nach α, also: \frac{d}{d\,\alpha}\,\Sigma_n\,{T_n}^2=\left\{\left{{-2\,\cdot\,\Sigma_n\,n\,(A_n\,C_n+B_n\,D_n)\,\mbox{sin}\,n\,\alpha}\atop{-2\,\cdot\,\Sigma_n\,n\,(A_n\,D_n-B_n\,C_n)\,\mbox{cos}\,n\,\alpha}}\right\right\}=0 oder, wenn man zur Abkürzung schreibt: an= – n (AnDn– BnCn); bn= – n (AnCn+BnDn) . . . . 11) \frac{d\,m^2}{d\,\alpha}=\frac{d}{d\,\alpha}\,\left(\frac{1}{2}\,\Sigma_n\,{T_n}^2\right)=\Sigma_n\,a_n\,\mbox{cos}\,n\,\alpha+\Sigma_n\,b_n\,\mbox{sin}\,n\,\alpha=0 . . . 12) Durch diese Gleichung ist der günstigste Kurbelwinkel festgelegt. Wir finden ihn am bequemsten, wenn wir uns die periodische Funktion von α, denn eine solche stellt die transzendente Gleichung ja wieder dar, als Kurve aufzeichnen und den Schnittpunkt mit der Nullinie aufsuchen. Dann können wir auch gleich entscheiden, für welchen Winkel ein Maximum oder Minimum der Abweichung eintritt, die fallenden Teile der Kurve liefern Maxima, die steigenden Minima, wie aus dem Zusammenhange mit dem zweiten Differentialquotienten hervorgeht. (Fortsetzung folgt.)