Zeichnerisches Verfahren zur Bestimmung von Spannungen in Trägern mit Anwendung auf Eisenbetonträger. Von Siegmund Löschner in Saarbrücken. LOESCHNER: Zeichnerisches Verfahren zur Bestimmung von Spannungen in Trägern usw. Inhaltsübersicht. Ableitung der allgemeinen Formeln. Zeichnerisches Verfahren, 1. Spezialhall: Biegung. 2. Spezialfall: Zentrischer Druck. 3. Spezialfall: Homogenes Material ohne Zugfestigkeit. 4. Spezialfall: Homogenes Material mit Zugfestigkeit. 5. Spezialfall: Nicht homogenes Material mit Zugfestigkeit. Rechnungsbeispiel. Dünnwandiger Röhrenträger (Ringquerschnitt). Ableitung der allgemeinen Formeln. Gegeben ist ein symmetrischer Betonquerschnitt mit symmetrisch, aber sonst willkürlich verteilten Eiseneinlagen (Abb. 1). In der Symmetrieachse, die zur X-Achse gewählt wird, befindet sich der Angriffspunkt A einer Normalkraft N, die den Querschnitt auf exzentrischen Druck beansprucht, im Abstande e vom Koordinatenursprung. Die Symmetrie kann eine recht- oder eine schiefwinklige sein. Es gelten folgende Bezeichnungen: Eb, Ee die Elastizitätsmodulli des Betons bzw. des Eisens n = Ee : Eb; ξ die unbekannte Abszisse der Nullachse, die parallel zur konjugierten Richtung der Symmetrieachse und parallel zur Y-Achse verläuft; σxe bzw. σxb die Spannungen im Eisen bzw. im Beton in Punkten mit den Abszissen x; x = a die Abszisse des äußersten Punktes des Betonquerschnittes auf der Druckseite (positiven Seite); x = i die Abszisse des äußersten Punktes der Eiseneinlagen auf der Zugseite; σab bzw. σie die Randspannungen des Betons bzw. des Eisens bei x = a bzw. x = i; M = N ∙ e das Biegungsmoment der Normalkraft in bezug auf den Koordinatenursprung. Druckspannungen erhalten das Zeichen plus. Der Beton besitzt keine Zugfestigkeit; der Teil der Betonfläche, der auf der anderen Seite der Nullachse gelegen ist, als der Punkt A, ist unwirksam. Textabbildung Bd. 328, S. 340 Abb. 1. Unter der Voraussetzung, daß die Querschnitte nach der Belastung eben bleiben und daß n konstant ist, ergibt sich {\sigma_x}^b={\sigma_a}^b\,\frac{x-\xi}{a-\xi},\ {\sigma_x}^e=n\,{\sigma_a}^b\,\frac{x-\xi}{a-\xi} . . (1) Die Gleichgewichtsbedingungen ergeben: N = Σbσxb ∙ ΔF + Σe σxe ∙ ΔF, M = N ∙ e = Σbσxb ∙ x ∙ ΔF + Σe σxe xΔF. Die Zeiger e und b bei den Summenzeichen deuten an, daß die Summierung nur auf den Eisen- bzw. nur auf den wirksamen Betonquerschnitt ausgedehnt wird. Mit Beachtung der Gleichung 1 ergeben sich aus den Gleichgewichtsbedingungen folgende Gleichungen zur Berechnung der Spannungen: e=\frac{M}{N}=\frac{\Sigma_b\,\Delta\,F\,(x-\xi)\,x+n\,\Sigma_e\,\Delta\,F\,(x-\xi)\,x}{\Sigma_b\,\Delta\,F\,(x-\xi)+n\,\Sigma_e\,\Delta\,F\,(x-\xi)}=\frac{\frakfamily{Z}}{\frakfamily{R}} (2) \sigma_a=\frac{M}{\frakfamily{Z}}\,(a-\xi)=\frac{N}{\frakfamily{R}}\,(a-\xi) . . . (3) \frakfamily{N} und \frakfamily{Z} sind Nenner und Zähler des Bruches in Gleichung 2. \frakfamily{N} ist das statische Moment des reduzierten wirksamen Querschnittes in bezug auf die Nullachse und \frakfamily{Z} ist ein Flächenmoment zweiten Grades (kein Trägheitsmoment im allgemeinen) in bezug auf die Y- und die Nullachse. In Parenthese sei erwähnt, was unter dem Begriff „reduziert“ bei einem nicht homogenen Querschnitt zu verstehen ist. Reduzierte Querschnittsfläche: Fr = Fb + nFe. Statisches Moment des reduzierten Querschnittes in bezug auf eine Achse x = x0: {S_r}^{x_0}=\Sigma_b\,\Delta\,F\,(x-x_0)^2+n\,\Sigma_e\,\Delta\,F\,(x-x_0)=F_r\,(q-x_0). Hierbei ist q die Abszisse des Schwerpunktes der reduzierten Fläche. Trägheitsmoment des reduzierten Querschnittes in bezug auf eine Achse x = x0: {J_r}^{x_0}=\Sigma_b\,\Delta\,F\,(x-x_0)^2+n\,\Sigma_e\,\Delta\,F\,(x-x_0)^2=J_r+F_r\,.\,(q-x_0)^2. Hierbei ist Jr das reduzierte Trägheitsmoment in bezug auf die Schwerachse des reduzierten Querschnittes Jr = Jb + nJe + Fee2 + Fbb2, wenn e bzw. b der Abstand des Schwerpunktes der Eisenfläche allein bzw. der Betonfläche allein vom reduzierten Schwerpunkt ist und wenn Je bzw. Jb das Trägheitsmoment der Eisenfläche allein bzw. der Betonfläche allein in bezug auf die eigene Schwerachse ist. Es besteht die Beziehung e : b = Fb : Fe. Zeichnerische Darstellung. Man unterteilt die Betonfläche und die Eisenfläche, jedoch jede Fläche getrennt in einzelne zur Schwerachse parallele Streifen und trägt die Flächen werte in einem Kräftepolygon auf, indem man die Flächen als Kräfte betrachtet, die in den Schwerpunkten der Streifen angreifen und parallel zur Y-Achse (Nullachse) wirken. Die Reihenfolge, in der man die Werte im Kräftepolygon aufträgt, ist: für die Betonflächen: von der Zugseite nach der Druckseite und anschließend daran für die Eisenflächen: von der Druckseite nach der Zugseite. Die Flächenwerte der Eisenstreifen multipliziert man zuvor mit der Zahl n. Der Maßstab des Kräftepolygons sei als der Flächenmaßstab bezeichnet. Man verbindet nun die gedachten Kräfte mit einem Seilpolygon sb und se für die Pol weite H1.. M1 sei eine Länge und wird mit dem Längenmaßstab der Zeichnung gemessen. Die Endtangenten der Seilpolygone Sb und se auf der Druckseite fallen zusammen und seien mit ta zeichnet. Die andere Endtangente des Seilpolygons se heiße ti. Der zwischen ti und sb eingeschlossene Abschnitt der Ordinate für die unbekannte Abszisse ξ hat den Wert \frakfamily{N}'=\frac{\Sigma_b\,\Delta\,F\,(x-\xi)+n\,\Sigma_e\,\Delta\,F\,(x-\xi)}{H_1}=\frac{\frakfamily{N}}{H_1}. \frakfamily{N'} ist mit dem Flächenmaßstab zu messen. Verlängert man alle Seilseiten der Seilpolygone sb und se bis zur K-Achse, so werden auf derselben Strecken abgeschnitten, die den Betrag haben \Delta\,\Theta=\Delta\,F\,.\,\frac{x}{H_1} bzw. \Delta\,\Theta=n\,\Delta\,F\,\frac{x}{H_1}. Man betrachte die ΔΦ als Kräfte, die in den Schwerpunkten der Einzelstreifen parallel zur Y-Achse wirken, und verbinde sie durch ein zweites Seilpolygon s'b und s'e für die Polweite H2 = a ∙  e. s'b und s'e sind in den Abbildungen punktiert eingezeichnet. Hierbei falle die Endtangente t'i des zweiten Polygons s'e mit der Endtangente ti zusammen, falls es die Zeichnung nicht allzu unklar macht. α wähle man im allgemeinen gleich 1, das heißt H2 = e. H2 sei eine Länge. Der vom Seilpolygon s'b und der Endtangente t'i eingeschlossene Abschnitt der Ordinate für die unbestimmte Abszisse ξ hat den Wert: \frakfamily{Z}'=\frac{\Sigma_b\,\Delta\,\Theta\,(x-\xi)+n\,\Sigma_e\,\Delta\,\Theta\,(x-\xi)}{H_2}       =\frac{\Sigma_b\,\Delta\,F\,x\,(x-\xi)+n\,\Sigma_e\,\Delta\,F\,x\,(x-\xi)}{H_1\,H_2}=\frac{\frakfamily{Z}}{H_1\,H_2}. Setzt man H2 = α ∙ e, dann ist mit Beachtung der Gleichung (2) \frakfamily{Z}'=\frac{\frakfamily{N}'}{\alpha}, wodurch die Lage der Nullachse bestimmt ist. Macht man α = 1, das heißt H2 = α ∙ e, dann ergibt sich die Lage der Nullachse im Schnittpunkt der beiden Seilpolygone sb und s'b. Fällt t'i nicht mit ti zusammen, etwa weil dadurch die Zeichnung unklar werden würde, dann findet man mit dem Zirkel oder Maßstab die Stelle, an der \frakfamily{Z}'=\frac{\frakfamily{N}'}{\alpha} oder bei \alpha=\,:\,\frakfamily{Z}'=\frakfamily{N}' ist, und dadurch auch die Lage der Nullachse. Ist es nicht möglich, α = 1, das heißt H2 = e zu wählen, etwa weil e zu groß oder zu klein ist, dann kann man das maßgebende Stück des Seilpolygons s'b im α-fachen Maßstabe auftragen: s''b und den Schnittpunkt von sb mit dem Polygon s''b bestimmen. Bei regelmäßig verteilten Eiseneinlagen ergibt sich folgende Vereinfachung. Dazu muß die Schwerpunktslage Se der Eisenfläche und deren Trägheitsmoment Jey für die Y-Achse leicht bestimmbar sein. Man erspart sich in diesem Falle das Zeichnen der Polygone se und s'e, und zeichnet lediglich die Endtangenten ta und ti, die sich unterhalb Se schneiden und zu den äußersten Polstrahlen des Kräftepolygons parallel sein müssen. Da t'i mit ti zusammenfällt, muß man nur noch die Lage von t'a bestimmen. Der Abstand von t'a und t'i beträgt für ein beliebiges x0: \frakfamily{Z}=\frac{1}{H_1\,H_2}\,n\,\Sigma_e\,\Delta\,F\,.\,x\,(x-x_0). Für x0 = 0 ist \frakfamily{Z}=n\,{J_e}^y\,\frac{1}{H_1\,H_2}, was einen Punkt der Endtangente t'a ergibt. Für x0 = H2 ist \frakfamily{Z}=n\,{J_e}^y\,\frac{1}{H_1\,H_2}-\frac{n\,\Sigma_e\,\Delta\,F\,x}{H_1}. n\,{J_e}^y\,\frac{1}{H_1\,H_2} ist leicht zu rechnen, wenn Je bekannt ist, und der Ausdruck \frac{1}{H_1}\,n\,\Sigma_e\,A\,F\,x ist der Abschnitt der Y-Achse zwischen den Tangenten ta und ti des ersten Seilpolygon. Hat man den Ursprung des Koordinatensystems im Schwerpunkt der Eisenfläche gewählt, dann sind t'i und t'a parallel und ihr Abstand beträgt n\,J_e\,\frac{1}{H_1\,H_2}. Ist die Lage der Nullachse bekannt, dann kann man mit Hilfe der Gleichung 3 die Spannung σa ermitteln und mit Hilfe der Gleichung 1 eine jede andere Spannung des Querschnitts. Eine negativ ausfallende Betonspannung ist gleich Null zu setzen. \frakfamily{N}=\frakfamily{N}'\,.\,H_1; \frakfamily{Z}=\frakfamily{Z}''\,H_1\,H_2. 1. Spezialfall: Biegung. N = 0; e= ∞; M = N ∙ e = 0. Es ist dies der Fall der gewöhnlichen Biegung, wie er bei Balkenträgern gewöhnlich vorkommt. Damit e=\frac{\frakfamily{Z}}{\frakfamily{N}}=\infty wird, muß \frakfamily{N}=0 werden. Die Lage der Nullachse ist durch den Schnittpunkt des Seilpolygons sb und der Tangente ti bestimmt ξ = ξ0, \sigma_a=\frac{M}{\frakfamily{Z}}\,(a-\\xi_0)=\frac{M\,(a-\epsilon_0)}{\frakfamily{Z}'\,H_1\,H_2}. H2 kann hier naturgemäß nicht mehr gleich e gesetzt werden. 2. Spezialfall: Zentrischer Druck. N = 0; e = q. q ist (nach S. 340) die Abszisse des Schwerpunktes des reduzierten Querschnittes. Nach Gleichung 2 ist q=e=\frac{\frakfamily{Z}}{\frakfamily{N}}=\frac{\Sigma_b\,\Delta\,F\,x^2+n\,\Sigma_e\,\Delta\,F\,x^2-\xi\,\Sigma_b\,\Delta\,F\,x-n\,\xi\,\Sigma_e\,\Delta\,F\,x}{\Sigma_b\,\Delta\,F\,x+n\,\Sigma_e\,\Delta\,F\,x-\xi\,F_b-\xi\,n\,F_e} q=\frac{{J_r}^y-\xi\,F_r\,.\,q}{F_r\,q-\xi\,F_r}=\frac{J_r+F_r\,.\,q^2-\xi\,F_r\,q}{F_r\,q-\xi\,F_r}=\frac{J_r}{F_r\,q-\xi\,F_r}+q. Somit muß sein: \frac{J_r}{F_r\,q-\xi\,F_r}=0; oder q – ξ = ∞ ξ = – ∞. Die Nullachse rückt ins Unendliche. Die Zusammendrückung ist überall gleich, σ = konstant. {\alpha_a}^b=\frac{N}{\frakfamily{N}}\,(a-\xi)=N\,:\,\frac{\frakfamily{N}}{a-\xi.}. Der Bruch \frakfamily{N}\,:\,a-\xi hat hier die unbestimmte Form \frac{\infty}{\infty}. Der Wert dieses Bruches bestimmt sich: \frac{\frakfamily{N}}{a-\xi}|_{\xi=\infty}=\frac{\frac{d\,\frakfamily{N}}{d\,\xi}}{\frac{d\,(a-\xi)}{d\,\xi}}=\frac{-\Sigma_b\,\Delta\,F-n\,\Sigma_e\,\Delta\,F}{-1}=F_b+n\,F_e=F_r. {\sigma_x}^b={\sigma_a}^b=\frac{N}{F_r}=\mbox{konstant}, σe = n ∙ σab. 3. Spezialfall: Nicht armierter Querschnitt ohne Zugfestigkeit. Dieser Fall wird gewöhnlich nach der Mohrschen Methode gerechnet. Die im folgenden angegebene Berechnungsart in Anlehnung an den Haupftfall, stellt eine Vereinfachung dar, insofern als das lästige Vergleichen von unregelmäßigen Flächen vermieden wird. e=\frac{\frakfamily{Z}}{\frakfamily{N}}=\frac{\Sigma\,\Delta\,F\,(x-\xi)\,s}{\Sigma\,\Delta\,F\,(x-\xi)}. Das Verfahren ist das gleiche wie im allgemeinen Fall. Die Bestimmung der Nullachse gestaltet sich etwas einfacher dadurch, daß man das Zeichnen der Polygone se und s'e spart. (Abb. 2.) Textabbildung Bd. 328, S. 342 Abb. 2. Ist H2 = c > a, dann schmiegt sich die zweite Seillinie s' enger an ihre Endtangente t'a, als dies bei dem ersten Seilpolygon s und der Tangente ta, die am besten mit t'a zusammenfallend gemacht wird, der Fall ist. Daraus und aus der Form der Seillinien folgt, daß sich die Linien nicht schneiden können, d.h., daß \frakfamily{N}' an keiner Stelle gleich \alpha\,\frakfamily{Z}' sein kann. Mit anderen Worten, es gibt für e > a keine Nullachse. Für e = a ist ξ = a, die Nullachse berührt den Querschnitt. In diesen zwei Fällen ist ein Gleichgewicht nicht möglich. Bei e < a ist Gleichgewicht möglich, wenn ξ < a. den zulässigen Wert nicht überschreitet. ξ < a. 4. Spezialfall. Homogener Querschnitt aus Material mit Zug- und Druckfestigkeit. Es ist dies der gewöhnliche aus der Festigkeitslehre wohl bekannte Fall des exzentrischen Druckes. e=\frac{\frakfamily{Z}}{\frakfamily{N}}=\frac{\Sigma\,\Delta\,F\,(x-xi)\,x}{\Sigma\,\Delta\,F\,(x-\xi)}=\frac{\Sigma\,\Delta\,F\,x^2-\xi\,\Sigma\,\Delta\,F\,x}{\Sigma\,\Delta\,F\,x-\xi\,\Sigma\,\Delta\,F}=\frac{J+F\,q^2-\xi\,F\,q}{F\,q-\xi\,F}=\frac{J}{F\,(q-\xi)}+q. Nennt man den Abstand des Kraftangriffspunktes vom Schwerpunkt a – q = e' und den der Nullachse vom Schwerpunkt – q + ξ = ξ', dann kann man schreiben e'=-\frac{J}{F\,.\,\xi'}=-\frac{i^2}{\xi'} und \xi'=-\frac{i^2}{e'}; eine aus der Festigkeitslehre wohlbekannte Beziehung zwischen Lastexzentrizität und Lage der Nullachse; \sigma_a=\frac{N}{\frac{\frakfamily{N}}{a-\xi}}=\frac{N}{\frac{F\,(q-\xi)}{a-\xi}}=\frac{N}{F}\,\frac{\xi-q+q-a}{\xi-q}=\frac{N}{F}+\frac{N\,(a-q)\,e'}{F\,i^2}. Nennt man Ne' = M' das Biegungsmoment der äußeren Kräfte in bezug auf den Schwerpunkt und setzt den Randabstand vom Schwerpunkt a – q = a' dann ist \sigma_a=\frac{N}{F}+\frac{M'\,a'}{J}, \sigma_i=\frac{N}{F}-\frac{M\,i'}{J}. Diese Beziehungen sind aus der Festigkeitslehre allgemein bekannt. 5. Spezialfall. Nicht homogener Querschnitt aus Material mit Zug- und Druckfestigkeit. Es ergibt sich: e-q=e'=\frac{J_r}{F_r\,(q-\xi)}=-\frac{J_r}{F_r\,\xi'}, e'=-\frac{{i_r}^2}{\xi'} und \xi'=-\frac{{i_r}^2}{e'}. \sigma_a=\frac{N}{F_r}+\frac{M'\,a'}{J_r}. Die Formeln der Festigkeitslehre gelten in diesem Falle mit der Abänderung, daß statt des gewöhnlichen Querschnittes der reduzierte Querschnitt eingesetzt wird. (Schluß folgt.)