Resonanz bei Treibriemen. Von Professor P. Stephan, Altona. STEPHAN: Resonanz bei Treibriemen. Manche Treibriemen laufen auffällig unruhig und rutschen auf der kleineren Scheibe beständig hin und her; der Uebelstand steigert sich bei stark und häufig wechselnder Belastung bisweilen bis zum Abfallen des Riemens von den Scheiben. Gewöhnlich wird die Ursache in allen möglichen Nebenumständen gesucht, und tatsächlich wird sie auch sicher verstärkt durch die ungleiche Dehnung einzelner Riementeile, so daß er an der balligen Scheibe ungleichmäßig anliegt, oder durch die schiefe Stellung der beiden Wellen gegeneinander. Die eigentliche Ursache liegt jedoch tiefer. Sie ist eingehend von Röhrich in der Zeitschrift für Mathematik und Physik 1912 untersucht worden, ohne daß die Arbeit in den beteiligten Fachkreisen Beachtung gefunden hat. Die betreffende Rechnung möge deshalb zum Teil hier mit geringen Verbesserungen wiederholt und an einem Beispiel durchgeführt werden. Es sei D1 = 3,5 m der äußere Durchmesser der Schwungradriemenscheibe einer Dampfmaschine, D1' = 3,35 m der Schwerpunktdurchmesser des Schwungringes, G1' = 3000 kg das auf den Schwerpunktdurchmesser bezogene Gewicht des Schwungrades, g = 9,81 m • sek–2 die Erdbeschleunigung, J1 das Trägheitsmoment der Antriebscheibe, M1 das wechselnde Antriebmoment der Dampfmaschine zu einem bestimmten Zeitpunkt t, R1 = ½ D1 der Halbmesser der Antriebscheibe, n1 = 125 die Drehzahl des Schwungrades, N1 = 185 PS die Nutzleistung der Dampfmaschine, D2 = 0,7 m der Durchmesser der Riemenscheibe einer Dynamomaschine, D2 = 0,62 m der Schwerpunktdurchmesser des Ankerringes der Dynamo, G2' = 715 kg das auf den Schwerpunktdurchmesser bezogene Gewicht des Ankers einschließlich der Riemenscheibe, J2 das Trägheitsmoment der angetriebenen Scheibe, M2 das gleichbleibende widerstehende Moment der Dynamomaschine, R2 = ½ D2 der Halbmesser der angetriebenen Scheibe, n2 = 540 die Drehzahl der Dynamo, N2 = 115 KW die Nutzleistung der Dynamo, η2 = 0,905 der Wirkungsgrad der Dynamo, F = 30 • 0,6 cm2 der mittlere Querschnitt des über beide Scheiben gelegten Treibriemens, α = 1 : 5000 cm2/kg die mittlere Dehnungsziffer bei der in Frage kommenden Belastung für einen „Prima“ eichenlohe gegerbten Treibriemen aus Leder, l = 5,323 m die freie Länge der Riementrümer zwischen den beiden Scheiben, ω1 = 3,656 der auf der Antriebscheibe vom Riemen umfaßte Winkel in Bogenmaß, ω1' = 0,0444 der sogenannte Auspreßwinkel auf der Antriebscheibe, ω2 = 2,627 der auf der Dynamoscheibe vom Riemen umfaßte Winkel, ω2' = 0,455 der Auspreßwinkel auf der angetriebenen Scheibe, Ψ = 0,951 eine Berichtigungszahl, σ1 die Zunahme der Riemenspannung im gezogenen Trum gegenüber der bei ruhendem Trieb, σ2 die Abnahme der Riemenspannung im losen Trum gegenüber der bei ruhendem Trieb. Dann berechnen sich die Trägheitsmomente beider Wellen zu J_1=\frac{{G_1}'}{g}\cdot\left(\frac{{D_1}'}{2}\right)^2=\frac{3000}{9,81}\cdot\left(\frac{3,35}{2}\right)^2=858\ \mbox{mkg}\cdot\mbox{sek}^2 J_2=\frac{{G_2}'}{g}\cdot\left(\frac{{D_2}'}{2}\right)^2=\frac{715}{9,81}\cdot\left(\frac{0,62}{2}\right)^2=7\ \mbox{mkg}\cdot\mbox{sek}^2 das mittlere Antriebmoment der Dampfmaschine zu M_{1m}=\frac{716,2\cdot N_1}{n_1}=\frac{716,2\cdot 185}{125}=1152\ \mbox{mkg}, das widerstehende Moment der getriebenen Welle zu M_2=\frac{974\cdot N_2}{n_1\cdot \eta_2}=\frac{974\cdot 115}{540\cdot 0,905}=230\ \mbox{mkg}, die Spannungänderungen im Betriebe bei Drehung der Welle 1 um einen kleinen Winkel \overline{\omega_1} und der zugehörigen Drehung der Welle 2 um den kleinen Winkel \overline{\omega_2} zu \sigma_1=\frac{R_1\,\overline{\omega_1}-R_2\,\overline{\omega_2}}{\alpha\,l_1} \sigma_2=\frac{R_1\,\overline{\omega_1}-R_2\,\overline{\omega_2}}{\alpha\,l_2} Hier bedeuten l1, l2 die reduzierten Trumlängen: l_i=l+R_i\,{\omega'}_i+\frac{\Psi}{2}\,R_i\,(\omega_i-{\omega'}_i) die den Zahlenwert l_1=5,323+1,75\cdot 0,0444+0,951\cdot \frac{1}{2}\cdot 1,75\cdot 3,612=8,408\ \mbox{m}, l_2=5,323+0,35\cdot 0,455+0,951\cdot \frac{1}{2}\cdot 0,35\cdot 2,172=5,843\ \mbox{m}, annehmen. Die Differentialgleichungen der Bewegung lauten dann: J_1\cdot\frac{d^2\,\overline{\omega_1}}{dt^2} =+\ M_1-F\,(\sigma_1+\sigma_2)\cdot R_1 =+\ M_1-\frac{F\cdot R_1}{\alpha}\cdot (R_1\,\overline{\omega_1}-R_2\,\overline{\omega_2})\cdot\left(\frac{1}{l_1}+\frac{1}{l_2}\right), J_2\cdot\frac{d^2\,\overline{\omega_2}}{dt^2} =-\ M_2+\frac{F\cdot R_2}{\alpha}\cdot (R_1\,\overline{\omega_1}-R_2\,\overline{\omega_2})\cdot\left(\frac{1}{l_1}+\frac{1}{l_2}\right), Nach Trennung der Variablen beschränken wir die Untersuchung auf die eine der beiden Gleichungen, weil ja nur die Bewegungsverhältnisse der Welle 2 zu untersuchen sind. Dann erhalten wir für die Winkelbeschleunigung u=\frac{d^2\,\overline{\omega_2}}{dt^2} die Differentialgleichung mit \frac{d^2u}{dt^2}+B_1\cdot u=B_2\cdot M_1-B_2\cdot M_2\,\frac{R_1}{R_2} mit B_1=\frac{1}{\alpha}\cdot F\,{R_1}^2\cdot \left(\frac{1}{l_1}+\frac{1}{l_2}\right)\cdot\left(\frac{1}{J_1}+\frac{1}{J_2}\cdot \frac{{R_2}^2}{{R_1}^2}\right). B_2=\frac{1}{\alpha}\cdot F\cdot R_2\cdot R_1\cdot \left(\frac{1}{l_1}+\frac{1}{l_2}\right)\cdot \frac{1}{J_1\cdot J_2}. Das veränderliche Antriebmoment der Welle 1 kann nun mit beliebiger Genauigkeit durch eine Fouriersche Reihe angenähert werden. Ist T1 sek die Periodendauer der Aenderung von M1, so lautet die Reihe M_1 ={M_1}^0+{M_1}'\cdot \mbox{cos}\,\left(\frac{2\,\pi t}{T_1}+\beta_1\right)+{M_1}''\cdot \mbox{cos}\,\left(\frac{4\,\pi t}{T_1}+\beta_2\right)+... ={M_1}^0+\Sigma\,{M_1}^{(i)}\cdot \mbox{cos}\,\left(\frac{2\,\pi t}{T_1}\cdot i+\beta_1\right). Die Lösung der obigen Differentialgleichung zweiter Ordnung ohne die Störungsfunktion auf der rechten Seite ist: u={C_1}'\cdot\mbox{cos}\,t\sqrt{B_1}+{C_2}'\cdot\mbox{sin}\,t\sqrt{B_1}. Mit Berücksichtigung der Störungsfunktion erhält man hieraus u={C_1}'\cdot \mbox{cos}\,t\sqrt{B_1}+{C_2}'\cdot \mbox{sin}\,t\sqrt{B_1}+\frac{B_2}{B_1}\cdot \left({M_1}^0-M_2\cdot \frac{R_1}{R_2}\right) +\Sigma\,{M_1}^{(i)}\cdot \mbox{cos}\,\left(\frac{2\,i\,\pi\,t}{T_1}+\beta_i\right)\cdot \frac{B_2}{2\,\left(B_1-\left(\frac{2\,i\,\pi}{T_1}\right)^2}\right) und dann durch nochmalige Integration als Winkelgeschwindigkeit w der Welle 2 zu einer beliebigen Zeit t zwischen 0 und T1 w=C_1\cdot \mbox{sin}\cdot t\sqrt{B_1}-C_2\cdot\mbox{cos}\,t\sqrt{B_1}+\frac{B_2}{B_1}\cdot\left({M_1}^0-M_2\cdot\frac{R_1}{R_2}\right)\cdot t +\Sigma\,\frac{{M_1}^{(i)}\cdot B_2\cdot\frac{T_1}{2\,\pi\,i}}{2\,\left(B_1-\left(\frac{2\,\pi\,i}{T_1}\right)^2}\right)}\cdot \mbox{sin}\,\left(\frac{2\,i\,\pi\,t}{T_1}+\beta_i\right)+C. Hierin ist C = w0 die zur Zeit 0 bestehende Winkelgeschwindigkeit. Das dritte Glied der Gleichung verschwindet für den Beharrungszustand, der allein in Frage kommen soll, da natürlich für den Unterschied der beiden Riemenspannkräfte die Beziehung F\cdot (\sigma_1-\sigma_2)=\frac{{M_1}^0}{R_1}=\frac{M_2}{R_2} gelten muß. Die ersten beiden Glieder stellen die Eigenschwingungen der Welle 2 dar, deren Amplituden C1 und C2 nur klein sein können und die durch die Lagerreibung und sonstigen Widerstände schnell gedämpft werden. Das Summenglied enthält die erzwungenen Schwingungen. Nach Wiedereinsetzung der Werte von B1 und B2 geht somit die obige Gleichung für den Beharrungszustand über in w=w_0+\Sigma\,\frac{{M_1}^{(i)}T_1\,\mbox{sin}\,\left(\frac{2\,i\,\pi\,t}{T_1}+\beta_1\right)}{4\,\pi\,i\,k}, wo der Faktor des Nenners k=\frac{J_1\,R_2}{R_1}+\frac{J_2\,R_1}{R_2}-\left(\frac{2\,\pi\,i}{T_1}\right)^2\,\frac{\alpha\,J_1\,J_2}{F\,R_1\,R_2}\ \frac{l_1\,l_2}{l_1+l_2} gesetzt ist. Die Schwankungen in der Winkelgeschwindigkeit, also auch der Ungleichförmigkeitsgrad der getriebenen Welle werden sehr groß, sobald sich für irgend ein ganzzahliges i der Nennerwert k der Null nähert. Im Fall, daß der Nenner gleich Null wird, tritt Resonanz der Schwingungen auf, die unter allen Umständen vermieden werden muß. Die Bedingung für die Resonanz läßt sich schreiben \left(\frac{1}{l_1}+\frac{1}{l_2}\right)\cdot \left(\frac{1}{J_1\cdot\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2}+\frac{1}{J_2}}\right)\cdot {R_2}^2=\frac{\alpha}{F}\cdot\left(\frac{2\,\pi\,i}{T_1}\right)^2. Für das gewählte Beispiel muß demnach sein mit T_1=\frac{60}{115}=0,522\ \mbox{sek}: \left(\frac{1}{8,408}+\frac{1}{5,843}\right)\cdot \left(\frac{5^2}{858}+\frac{1}{7}\right)\cdot 0,35^2\lessgtr \frac{\left(\frac{2\cdot\pi}{0,522}\right)^2\cdot i^2}{5000\cdot 30\cdot 0,6}, 0,00612\gtrless 0,00161\cdot i^2 oder 3,80<1\cdot 2^2 Die Verhältnisse des betreffenden Triebes sind also recht ungünstig, da er nur noch etwa 5 v. H. von der Resonanz in der zweiten Harmonischen entfernt ist. Eine Verbesserung ist nur auf zwei Wegen möglich. Nicht zum Ziel führt die Veränderung der Periodendauer T1 etwa dadurch, daß man die Antriebsmaschine etwas langsamer laufen läßt und dafür die Riemenscheibe der getriebenen Welle entsprechend verkleinert, denn das Verhältnis beider Seiten der obigen Ungleichung wird dadurch nur unwesentlich beeinflußt, weil nur das Uebersetzungsverhältnis R2 : R1 eine entsprechende Aenderung erfährt und alles andere unverändert bleibt. Man kann also nur die den Riemen betreffenden Größen F und α ändern. Bekanntlich formt auch oft das Auflegen eines stärkeren Riemens den unruhigen Lauf in einen hinreichend ruhigen um; allerdings würde im Fall des Beispiels eine Verstärkung um ½ mm das Uebel nur verschlimmern, und erst eine Vergrößerung der Riemendicke um 1½ mm würde eine geringe Verbesserung bewirken. Einfacher und billiger ist es, statt eines naß vorgestreckten „Prima“ lohgaren Riemens einen aus dem dehnbareren Kernleder oder Chromleder von gleicher Stärke zu nehmen oder auch einen wesentlich steiferen Baumwolltuchriemen. Es ist also zur Vermeidung der Resonanz durchaus nicht nötig, einen elastischeren Riemen zu wählen, wie häufig angenommen wird, sondern ein steiferer, sogar ein Stahlband ist oft vorteilhafter. Ueber die Größe des Ungleichförmigkeitsgrades der getriebenen Welle wird aus der vorstehenden Rechnung keine Angabe erhalten. Röhrich hat die fragliche Ermittlung für ein bestimmtes Beispiel durchgeführt, doch ist das Verfahren leider so umständlich, daß es für die Zwecke der technischen Praxis unbrauchbar ist. Es genügt auch für die meisten Fälle zu wissen, daß bei hinreichendem Abstand von der Resonanz der Ungleichförmigkeitsgrad sicher kleiner ist als der der treibenden Welle, oft nur halb so groß. Dagegen sollte die Prüfung, ob der betreffende Riementrieb hinreichend weit von der Resonanz entfernt ist, bei größeren schnellaufenden Trieben immer vorgenommen werden.