Die Biegungsbeanspruchung über die Streckgrenze hinaus. Von Professor P. Stephan, zurzeit im Felde. STEPHAN: Die Biegungsbeanspruchung über die Streckgrenze hinaus. Vor mehr als 20 Jahren hatte bereits Wehage in der Z. d. V. d. I. den Fall untersucht, daß die Biegungsbeanspruchung eines ursprünglich geraden Stabes die Streckgrenze des betreffenden Materials überschreitet. Die Arbeit wird wohl in der Literatur gelegentlich erwähnt, ohne daß aber die technische Praxis von ihren Ergebnissen jemals Anwendung macht. Die Wichtigkeit des Gegenstandes dürfte demnach eine Wiederholung der Rechnungen, die dem Verfasser aus naheliegenden Umständen nicht vorgelegen haben, und ihre Anwendung auf einige Sonderfälle rechtfertigen. Die Voraussetzungen, von welchen die Untersuchung ausgeht, sind folgende: Zuerst die bekannte Naviersche, daß die Querschnitte des gebogenen Stabes eben bleiben, die ja innerhalb der Genauigkeitsgrenzen der technischen Rechnungen für die meisten Fälle richtige Ergebnisse liefert; dann die verhältnismäßig einfache Formeln gestattende, daß der Krümmungshalbmesser des Stabes im Verhältnis zur radialen Ausdehnung des Querschnittes groß bleibt, und schließlich, daß die Dehnungskurve des Materials für Zug und Druck die gleiche oder doch nahezu übereinstimmende ist. 1. Rechteckquerschnitt. Die Verteilung der Beanspruchungen über die Querschnittshälfte zeigt Abb. 1. Es gilt dann mit den Bezeichnungen der Abbildung $$\sigma ={\sigma }_S.\frac{y}{y_1},$$ und die Größe des Biegungsmomentes ist gegeben durch $$M_b={\int }_0^{y_1}2.bdy.\sigma .y+{\int }_{y_1}^{1/2h}2b.dy.{\sigma }_S.y.$$ Die Ausführung der Integration liefert $$M_b=\frac{b.h^2}{4}.{\sigma }_S.[1-\frac{1}{3}{\left(\frac{y_1}{1/2h}\right)}^2]..(1)$$ Dabei ist die leichte Krümmung der Dehnungskurve zwischen der Proportionalitätsgrenze und der Streckgrenze als für das Ergebnis belanglos vernachlässigt worden.

Abb. 1.

Für die Dehnung der äußersten Faserschicht gilt die bekannte Gleichung der Biegungslehre, die aus der Navierschen Voraussetzung folgt, $${\epsilon }_{\text{max}}=\frac{1/2h}{\varrho },$$ wenn ρ den Krümmungshalbmesser des Stabes nach der Biegung aus dem ursprünglich geraden Zustand bedeutet. Wird die vorstehende Vernachlässigung beibehalten, also das Hooke sehe Gesetz bis zur Streckgrenze als gültig angesehen, so ist nach Abb. 1 $${\epsilon }_{\text{max}}=\alpha .{\sigma }_S\frac{1/2h}{y_1},$$ worin a die Dehnungsziffer des Materials darstellt. Durch Gleichsetzen beider Ausdrücke erhält man den Krümmungshalbmesser aus $$\frac{\varrho }{1/2h}=\frac{y_1}{1/2h}.\frac{1}{\alpha .{\sigma }_S}.....(2)$$ Hört jetzt die Wirkung des Biegungsmomentes Mb auf, so suchen die in Abb. 2 schraffierten elastischen Spannungen den Stab wieder gerade zu strecken, deren Dehnungslinie parallel zu dem geneigten Ast der ersten Dehnungslinie verläuft, wie ein einfacher Zugversuch mit selbsttätiger Aufzeichnung der Dehnungslinie lehrt. Die Größe des rückbiegenden Momentes folgt aus $$M_r={\int }_{1/2h{y}_1}^{1/2h}2.b.d{y}^{\prime }{\sigma }^{\prime }.y^{\prime }$$ mit $${\sigma }^{\prime }={\sigma }_S.\frac{y-(1/2h-y_1)}{1/2h-(1/2h-y_1)}={\sigma }_S(\frac{y}{y_1}-\frac{1/2h}{y_1}+1)$$ zu $$M_r=\frac{b.h^2}{4}.{\sigma }_S.[\frac{y_1}{1/2h}-\frac{1}{3}.{\left(\frac{y_1}{1/2h}\right)}^2]..(3)$$

Abb. 2.

Unter dem Einfluß dieses rückbiegenden Momentes vergrößert sich der Krümmungshalbmesser von ρ auf ρr und die Dehnung der äußersten Faser geht zurück auf $${\epsilon }_r=\frac{1/2h}{{\varrho }_r},$$ wie Abb. 3 angibt. Da die Querschnitte eben bleiben, so treten die in Abb. 3 schraffierten Dehnungen auf, und man entnimmt der Abbildung $$\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_{\text{max}}-{\epsilon }_r}=\frac{1/2h-y_1}{1/2h},$$ woraus nach Einsetzen der Werte $${\epsilon }_1=\alpha .{\sigma }_1,{\epsilon }_{\text{max}}=\frac{1/2h}{\varrho },{\epsilon }_r=\frac{1/2h}{{\varrho }_r}$$ die im Abstande ½ h – y1 von der Schwerachse herrschende größte Spannung folgt: $${\sigma }_1=\frac{1}{\alpha }.(1/2h-y_1).(\frac{1}{\varrho }-\frac{1}{{\varrho }_r}).$$ Mit Benutzung von Gleichung (2) erhält man hieraus $$\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_S}=(1-\frac{y_1}{1/2h}).(\frac{1/2h}{y_1}-\frac{1/2h}{y_r})$$ . . (4) Auf der nach dem Krümmungsmittelpunkt zu gelegenen Seite des Querschnittes, wo σS eine Druckspannung ist, ist σ1 eine Zugspannung; das umgekehrte gilt auf der Außenseite des Querschnittes.

Abb. 3.

Die Größe des der Rückbiegung widerstehenden Spannungsmomentes berechnet sich nach den Angaben der Abb. 3 aus $$M_s=2.b.(1/2h-y_1).1/2{\sigma }_1.\frac{2}{3}.(1/2h-y_1)+2.b.y_1.1/2{\sigma }_1.(1/2h-y_1+1/3y_1)$$ zu $$M_s=\frac{b.h^2}{6}{\sigma }_1.(1-\frac{1}{2}.\frac{y_1}{1/2h})$$ . (5) woraus nach Einsetzen von Gleichung (4) folgt: $$M_s=\frac{b.h^2}{4}.{\sigma }_S.(1-\frac{y_1}{1/2h}).(\frac{1/2h}{y_1}-\frac{1/2h}{y_r}).(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}.\frac{y_1}{1/2h})$$ (5a) Hierin ist der Abstand yr vorläufig noch unbekannt. Zu seiner Ermittlung kann Gleichung (1) benutzt werden in der Form $$M_b-(M_r-M_s)=\frac{b.h^2}{4}{\sigma }_S.[1-\frac{1}{3}.{\left(\frac{y_r}{1/2h}\right)}^2].$$ Werden hier die Werte für Mb, Mr und Ms aus den Gleichungen (1), (3), (5a) eingesetzt, so ergibt sich als Bestimmungsgleichung für yr, wenn der Kürze halber $$\frac{y_1}{1/2h}=z_1,\frac{y_r}{1/2h}=z_r$$ gesetzt wird: zr3z1 + zr (2 – 3 z1 – 2 z12) = 2 z1 – 3 z12 + z13 (6) Damit liefert Gleichung (2) die Größe des schließlichen Krümmungshalbmessers ρr aus $$\frac{{\varrho }_r}{1/2h}.\alpha .{\sigma }_S=\frac{y_r}{1/2h}$$ . . . . . . (7) Naturgemäß sind nur die Werte kleiner als 1 richtig. Für den Fall yr > ½ h, wo also nach der Rückbiegung die Streckgrenze des Materials nicht überschritten wird, gilt die Formel der elastischen Biegungslehre $${\varrho }_r=\frac{b.h^3}{12}.\frac{1/\alpha }{M_b-M_r+M_s}$$ . . (8) woraus folgt $$\frac{{\varrho }_r}{1/2h}\alpha .{\sigma }_S=\frac{1+(1-\frac{y_1}{1/2h}).(1-\frac{1}{2}.\frac{y_1}{1/2h})}{(1-\frac{y_1}{1/2h}).(1+\frac{1/2h}{y_1})}$$ (9) Man bemerkt, daß alle Endwerte von dem Verhältnis $$\frac{y_1}{1/2h}$$ abhängig sind. Die folgende Zusammenstellung enthält die zahlenmäßige Ausrechnung für verschiedene Verhältnisse $$\frac{y_1}{1/2h}$$. Zur klareren Veranschaulichung sind die einzelnen Werte in Abb. 4 aufgetragen, aus der sie für die meisten Näherungsrechnungen mit ausreichender Genauigkeit abgegriffen werden können.

Abb. 4.

1$$\frac{y_1}{1/2h}$$ 2$$\frac{M_b}{\frac{b{h}^2}{4}.{\sigma }_S}$$ 3$$\frac{M_r}{\frac{b{h}^2}{4}{\sigma }_S}$$ 4$$\frac{M_s}{\frac{b{h}^2}{4}{\sigma }_S}$$ 5$$\frac{y_r}{1/2h}=\frac{{\varrho }_r}{1/2h}\alpha {\sigma }_S$$ 6$$\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_S}$$ 1 0,6667 0,6667 0      ∞ 0 0,9 0,7300 0,6300 0,0334 5,0000 0,0911 0,8 0,7867 0,5867 0,0679 2,4889 0,1696 0.7 0,8367 0,5367 0,1066 1,6425 0,2459 0,6 0,8800 0,4800 0,1556 1,2000 0,3333 0,5 0,9167 0,4167 0,2248 0,91330,9086 0,4497 0,4 0,9467 0,3467 0,2754 0,6100 0,5164 0,3 0,9700 0,2700 0,2568 0,3723 0,4531 0,2 0,9867 0,1867 0,1848 0,2167 0,3080 0,1 0,9967 0,0867 0,0898 0,1016 0,1418 0 1 0 0 0 0

Die vorstehenden Ergebnisse finden zum Beispiel Anwendung bei Dampfkesselmänteln, Gefäßen und dergleichen. Ein Dampfkesselmantel für ρ = 9 at Ueberdruck aus Flußeisen von der Zerreißfestigkeit Kz = 3600 at, der Streckgrenze σS = 2200 at und der Dehnungsziffer $$\alpha =\frac{1}{2100000}\frac{1}{\text{at}}$$ hat bei $$\text{frakfamily}S=4,5\text{-facher}$$ Sicherheit und dreireihiger Ueberlappungsnietung bei 240 cm Innendurchmesser die Wandstärke h = 1,8 cm; es ist also ρr ~ 121 cm. Damit wird $$\frac{{\varrho }_r}{1/2h}\alpha .{\sigma }_S=\frac{121}{0,9}.\frac{2200}{2100000}=0,1408,$$ dem entspricht die größte im Innern des Bleches auftretende Restspannung σ1 = 0,2007 ∙ σs = 441 at. Hierzu tritt die über den ganzen in der Nietreihe der Längsnaht stehen gebliebenen Blechquerschnitt gleichmäßig verteilte Zugbeanspruchung $${\sigma }_2=\frac{K_z}{\text{frakfamily}S}=\frac{3600}{4,5}=800\text{ at}.$$ Außerdem wirkt in achsialer Richtung bei einreihiger Ueberlappungsnietung noch die Zugspannung $${\sigma }_3=\frac{Dp}{4.h.\phi }=\frac{240.9}{4.1,8.0,56}=536\text{ at}.$$ Die größte, allerdings nur an den Stoßstellen der Nietreihen auftretende Gesamtspannung ist mithin nach Wehage (Z. d. V. d. I. 1905) $${\sigma }_{\text{max}}=\sqrt{({\sigma }_1+{\sigma }_2{)}^2+{{\sigma }_3}^2}=\sqrt{{1241}^2+{536}^2}=1351$$ at, das ist das 0,965-fache der Proportionalitätsgrenze σP= 1400 at des Materials, die man gewöhnlich nicht zu überschreiten pflegt, bis zu der man aber bei rein statischer Beanspruchung unbedenklich gehen kann. Es darf nicht unerwähnt bleiben, daß die Vorspannung σ1 im Laufe der Zeit auf rund ¾ des ursprünglichen Wertes zurückgeht, wie in D. p. J. 1905/07 ausführlich wiedergegebene amerikanische Untersuchungen gelehrt haben. Dadurch wird der Einfluß von Korrosionen, die außerdem immer die äußere, wenig vorgespannte Haut betreffen, aufgehoben. 2. Kreisquerschnitt. Mit den Bezeichnungen der Abb. 5 erhält man wie unter Nr. 1: $$\sigma ={\sigma }_S.\frac{y}{y_1},{\epsilon }_{\text{max}}=\frac{r}{\varrho }=\alpha .{\sigma }_S.\frac{r}{y_1};$$ ferner gilt $$df=2.x.dy,x=\sqrt{r^2-y^2}.$$ Damit ergibt sich die Größe des Biegungsmomentes: $$$$\begin{array}{rcl}{M}_b& =& 2{\int }_0^{y_1}ydf.\sigma +2.{\int }_{y_1}^{r}ydf.{\sigma }_S\\ & =& 4{\sigma }_S.[\frac{1}{y_1}.{\int }_0^{y_1}{y}^2.\sqrt{r^2-y^2}dy+{\int }_{y_1}^{r}y\sqrt{r^2-y^2}.dy].\end{array}$$$$ Nach Ausführung der Integration bleibt $$M_b=\frac{4}{3}.r^3{\sigma }_S.k_{z_1},$$ . . . . (10) worin der Kürze halber $$\frac{y_1}{r}=z_1$$ und $$k_{z_1}=1-\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{3}{40}{z_1}^4+\frac{1}{112}{z_1}^6+\frac{1}{384}{z_1}^8+\frac{3}{2816}{z_1}^{10}+\frac{7}{13312}{z_1}^{12}+...$$ (11) gesetzt sind. Zur Erzielung der Biegung nach dem Halbmesser ρ hat am Draht eine gleichmäßig über den Querschnitt πr2 wirkende Spannung σb anzugreifen, für die der Zusammenhang gilt $$M_b=\pi .r^2.{\sigma }_b.\varrho =\frac{4}{3}.r^3.{\sigma }_S.k_{z_1}.$$ Hieraus folgt $$\frac{{\sigma }_b}{{\sigma }_S}=\frac{4r}{3\pi \varrho }{k}_{z_1},$$ oder mit $$\frac{3\pi }{16}=k_1$$ $$\frac{{\sigma }_b}{{\sigma }_S}=\frac{k_{z_1}}{4k_1}.\frac{r}{\varrho }$$ . . . . . (12) Für das Rückbiegungsmoment erhält man aus $$M_r={\int }_{r-y_1}^{r}4x.d{y}^{\prime }.{\sigma }^{\prime }.y^{\prime }$$ mit $${\sigma }^{\prime }={\sigma }_S(\frac{y^{\prime }}{y_1}-\frac{r}{y_1}+1),$$ wenn wieder $$\frac{y}{r}=z$$, $$\frac{y_1}{r}=z_1$$ gesetzt wird: $$M_r=4r^3{\sigma }_S\{\frac{1}{z_1}{\int }_{1-z_1}^1{z}^2(1-z^2{)}^{1/2}dz-(\frac{1}{z_1}-1){\int }_{1-z_1}^{1}z(1-z^2{)}^{1/2}dz\}$$ und nach Ausführung der Integration $$M_r=\frac{4}{3}{r}^3{\sigma }_S[k_1-(1-z_1)k_{1-z_1}]\frac{1}{z_1}$$ . (13) worin die Reihenwerte k1 und $$k_{1-z_1}$$ der Formel (11) zu entnehmen sind. Der obige Wert von Mr gilt für den Fall, daß das Biegungsmoment Mb bald nach Ausführung der Biegung aufhört zu wirken. Dauert seine Einwirkung lange Zeit hindurch an, so wird die Formänderung mehr und mehr eine bleibende und die Spannungen gehen bis auf rund ¾ ihres ursprünglichen Wertes herunter (vgl. oben). Der Stab bleibt selbst dann gebogen, wenn die Spannungen die Streckgrenze nicht erreichten, eine Erscheinung, die zum Beispiel an den Eisenbahnwagenfedern seit langem bekannt ist. In dem letzteren Fall ist also der vorstehende Wert von Mr noch mit dem Faktor $$\frac{3}{4}$$ zu multiplizieren: $$M_r^{\prime }=\frac{3}{4}.M_r.....(13\text{a})$$

Abb. 5.

Das der Rückbiegung entgegenwirkende Spannungsmoment ermittelt sich aus $$M_s={\int }_0^{r-y_1}4x.dy.{\sigma }^{\prime }.y+{\int }_{r-y_1}^{r}4.x.dy.{\sigma }^{″}.y,$$ worin aus Abb. 3, nachdem ½ h durch r ersetzt ist, einzusetzen ist: $${\sigma }^{\prime }={\sigma }_1.\frac{y}{r-y_1}\text{ und }{\sigma }^{″}={\sigma }_1.\frac{r-y}{r-(r-y_1)}.$$ Damit wird $$M_s=4r^3{\sigma }_1.\{\frac{1}{1-z_1}{\int }_0^{1-z_1}(1-z^2{)}^{1/2}{z}^{2}dz+\frac{1}{z_1}{\int }_{1-z_1}^1(1-z^2{)}^{1/2}zdz-\frac{1}{z_1}{\int }_{1-z_1}^1(1-z^2)z^{2}dz.\},$$ und nach Ausführung der Integration $$M_s=\frac{4}{3}.r^3.{\sigma }_1.(k_{1-z_1}-k_1)\frac{1}{z_1}$$ . . (14) Wird wieder sinngemäß Gleichung (4) benutzt, so folgt schließlich $$M_s=\frac{4}{3}{r}^3{\sigma }_S(\frac{1}{z_1}-1)(\frac{1}{z_1}-\frac{1}{z_r})(k_{1-z_1}-k_1)$$ (15) Auch dieser Wert geht im Laufe der Zeit zurück auf $$M_s^{\prime }=\frac{3}{4}{M}_s$$ . . . . . . . . (16)

Abb. 6.

Zur Bestimmung des Wertes $$\frac{r}{y_r}=\frac{1}{z_r}$$ wird Gleichung (10) benutzt in der Form $$M_b-M_r+M_s=\frac{4}{3}.r^3{\sigma }_S{k}_{z_r}.$$ Nach Einsetzen der Gleichungen (10), (13) bzw. (13a) und (15) bzw. (16) ergibt sich hieraus wenn noch Gleichung (11) für kzr dazugenommen wird, als Bestimrnungsgleichung für $$\frac{y_r}{r}=z_r$$: $$z_r\{k_{z_1}+\frac{k_1}{z_1}\left(0\text{ bzw. }\frac{1}{4}\right)+k_{1-z_1}(\frac{1}{z_1}-1)[\frac{1}{z_1}+\left(1\text{ bzw. }\frac{3}{4}\right)]-1-k_1\frac{1}{{z_1}^2}+\frac{1}{2}{z_r}^2-\frac{3}{40}{z_r}^4-\frac{1}{112}{z_r}^6-....\}=(\frac{1}{z_1}-1)(k_{1-z_1}-k_1)$$ . . (17) die durch Näherungsrechnungen aufgelöst werden muß.

Damit erhält man schließlich entsprechend den Gleichungen (7), (8) und (9): $$\frac{{\varrho }_r}{r}.\alpha .{\sigma }_S=\frac{y_r}{r}\text{ für }\frac{y_r}{r}<1$$ . . (18) und $$\frac{{\varrho }_r}{r}.\frac{4\alpha }{r^3}=\frac{1}{M_b-M_r+M_s}\text{ für }\frac{y_r}{r}\ge 1,$$ woraus nach einigen Umformungen und der Bemerkung, daß $$k_1=\frac{3\pi }{16}$$, folgt $$\frac{{\varrho }_r}{r}\alpha {\sigma }_S=\frac{k_1+(\frac{1}{z_1}-1)(k_{1-z_1}-k_1)}{k_{z_1}-\left(1\text{ bzw. }\frac{3}{4}\right)\frac{1}{z_1}[k_1-(1-z_1)k_{1-z_1}]+\frac{1}{z_1}(\frac{1}{z_1}-1)(k_{1-z_1}-k_1)}$$ (19) Zum Geradebiegen des etwa auf eine Rolle gewickelten Drahtes ist eine Zugspannung σ0 erforderlich, die sich berechnet aus $$\pi r^2{\sigma }_0.{\varrho }_r=M_b-M_r+M_s=\frac{4}{3}.r^3.{\sigma }_S{k}_{z_r}$$ zu $${\sigma }_0=\frac{k_{z_r}}{4k_1}.\frac{r.{\sigma }_S}{{\varrho }_r}\text{ für }{z}_r<1$$ . (20) bzw. $${\sigma }_0=\frac{M_b-M_r+M_s}{\pi r^3}.\frac{r}{{\varrho }_r}\text{ für }{z}_r\ge 1$$ . (21) Die vorstehende Zusammenstellung enthält wieder die zahlenmäßige Ausrechnung der Formeln für verschiedene Verhältnisse $$\frac{y_1}{r}$$. Zur klareren Veranschaulichung sind die einzelnen Werte in Abb. 6 aufgetragen, aus der sie für die meisten Näherungsrechnungen mit ausreichender Genauigkeit abgegriffen werden können. (Schluß folgt.)