Beitrag zur Theorie und Konstruktion der Wage, mit besonderer Berücksichtigung der n-fach übersetzten Hebelwage. Von Franz Lawaczeck, Dipl.-Ing., Camberg. (Fortsetzung von S. 698 d. Bd.) Beitrag zur Theorie und Konstruktion der Wage, mit besonderer Berücksichtigung usw. 9. Einfluss der durch veränderliche Uebersetzung veränderlichen Massenverteilung auf mz2. Nach diesen Ausführungen können wir dazu übergehen, den Einfluss der Uebersetzung auf den Wert mz2, auf den es uns in erster Linie ankommt, zu erörtern. Um nun zunächst die Verhältnisse für eine Uebersetzungsänderung im Sinne u < 1 weiter zu verfolgen, stellen wir fest, dass durch diese Uebersetzungsänderung der Wert ρ, wie aus Gleichung 31 hervorgeht, kleiner wird, da ∑xWred nahezu konstant bleibt und der Beitrag von Last und Gegengewicht abnimmt. (Siehe Gleichung 31). Setzen wir diesen Wert von μ in die Gleichung 27 ein, so erhalten wir \frac{g}{\pi^2}=\frac{\sim\,10000}{10}\,^{\mbox{mm}}/_{\mbox{sec}^2} gesetzt, m\,z^2=\frac{3600000}{E}\cdot \frac{1}{1+u+\frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F}}, . 38) woraus die Zunahme des Produktes mz2 bei konstantem E durch die vorgenommene Uebersetzungsänderung zu ersehen ist. Tragen wir, um die Zunahme von mz2 zu veranschaulichen, auf der Abscisse eines rechtwinkligen Coordinatensystems u, auf der Ordinate die zugehörigen Werte von mz2 auf,dso erhalten wir durch Gleichung 38 in den Kurven I und II der Fig. 15 eine gleichseitige Hyperbel, sofern \frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F} und ebenso E als Konstante angesehen werden. Treibt man die Uebersetzung so weit, dass ihr numerischer Wert gegen 1 vernachlässigt werden kann, so erhält man für das angenommene \frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F} den Höchstwert von mz2 mit m\,z^2=\frac{3600000}{E}\cdot \frac{1}{1+\frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F}}, der selbst wieder um so grösser ist, je kleiner der Wert \frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F} war. Textabbildung Bd. 321, S. 711 Fig. 15. Gelänge es mit Hebelmassen auszukommen, deren reduziertes Gewicht gegenüber der Wiegelast L + F sehr klein wäre, so klein, dass auch \frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F} gegen 1 vernachlässigt werden könnte, so erhielte man für das Produkt mz2 den überhaupt denkbar höchsten Wert mit m\,{z_0}^2=\frac{3600000}{E}. Dieser Wert ist in Wirklichkeit nie ganz zu erreichen, da weder u noch \frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F} jemals wirklich zu Null werden können. mz02 stellt somit einen Idealwert vor, dem man sich durch zweckmässige Wahl der Uebersetzung und vernünftige Anordnung der Hebelmassen möglichst nähern sollte. Bei der bis hierher verfolgten Uebersetzungsänderung im Sinne u < 1 ergibt sich indessen ein Wagentypus, bei dem die Last L + F durch ein Gewicht abgewogen wird, das grösser ist als die Last, ein Typus also, der unter Umständen wohl für kleine Lasten angewandt werden könnte, für einigermassen grosse Lasten dagegen gänzlich unbrauchbar wäre. Für grosse Lasten kommt, wenn wir wieder, wie vorhin, von der gleicharmigen Wage ausgehen, nur eine Uebersetzung im Sinne u > 1 in Betracht, damit das Gegengewicht L1 + Fl < L + F wird. Für eine Verstärkung der Uebersetzung in diesem Sinne aber gibt Gleichung 32 bereits bei konstantem \frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F} eine Abnahme des Produktes mz2. Da nun ausserdem noch, wie wir sahen, ∑xWred bei u > 1 auch grösser wird, wodurch eine weitere Verkleinerung von mz2 bedingt ist, so scheint eine Uebersetzungsänderung im Sinne u > 1 äusserst ungünstig. Dabei ist indessen zu bedenken, dass bei u > 1 die Schneide an der die Last, L + F, aufgehängt ist, und an der bis jetzt die Senkung m gemessen wurde, bei einer Schwingung den kleinsten Weg von allen Schneiden, von den Festschneiden abgesehen, zurücklegt. Desshalb wird man nach den früheren Festsetzungen bei Empfindlichkeitsmessungen nicht mehr diese Senkung beobachten, sondern vielmehr den Weg der mit L1 + F1, dem Gegengewicht, belasteten Schneide. Bezeichnet man den Weg dieser Schneide bei Zulage eines Uebergewichtes \Delta\,L=\frac{L+F}{E} zur Last mit mu, so ist mu = m . u, und der Definition zufolge wird die Empfindlichkeit infolge der Uebersetzung u dieser Uebersetzung demnach proportional gewachsen sein. Sofern wir die Beziehung der Gleichung 32 auch für u > 1 benutzen wollen, müssen wir also m durch mu ersetzen, womit Gleichung 32 übergeht in: m_u\,z^2=\frac{3600000}{E}\cdot \frac{u}{1+u+\frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F}}. . 39) Hält man zunächst noch an der Annahme fest, dass \frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F}=\mbox{konst.} und trägt man, wie in Fig. 15 geschehen, mnz2 auf der Ordinate, u auf der Abscisse ab, so erhält man für Gleichung 39 in den Kurven Ia, IIa wiederum eine gleichseitige Hyperbel, deren eine Asymptote parallel zu der Abscissenachse verlaufend auf der Ordinatenachse ein Stück y_1=\frac{3600000}{E} abschneidet, während die zweite von der Abscisse x_1=-\left(1+\frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F}\right) abschneidet. Bei gleichem Wert für \frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F} deckt sich folglich die zweite Asymptote mit der entsprechenden Asymptote der Hyperbel für u < 1. Beide Hyperbeln schneiden sich bei gleichem \frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F} bei u = 1; im übrigen werden sie nur dann kongruent, wenn \frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F}=0 für beide ist. Wenn auch, wie wir gesehen haben, für u > 1 die Annahme \frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F}=\mbox{konst.} auch angenähert nicht mehr stimmt, so wird die zweite Hyperbel (Ia, IIa) für u > 1, dennoch eine, wenn auch nur grobe Annäherung für den wirklichen Sachverhalt geben, weil der Ausdruck \frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F}, wie wir sehen werden, anfänglich bei kleinerem u, einen vergleichsweise geringen Einfluss u selbst gegenüber, auf muz2 ansübt. Fassen wir unter dieser Voraussetzung die in Fig. 15 ausgezogenen Kurvenstücke der mz2- und muz2-Kurve als eine einzige auf, so zeigt diese jedenfalls ein Minimum bei u = 1, woraus wir immerhin schliessen können, dass zur Erreichung eines hohen mz2-Wertes, also zur Erzielung möglichst grösser Schwingungszahl bei hoher Empfindlichkeit die gleicharmige Wage der ungünstigste Typus ist. Wollen wir den Verlauf der muz2-Kurve bei veränderlichem ∑xWred kennen lernen, so haben wir nun den Ausdruck für ∑xWred, dessen gesetzmässige Aenderung mit u für einarmige Hebel durch Gleichung 37 gefunden war in Gleichung 39 einzusetzen. Gleichung 37 kann man, auch bei beliebig vielen Hebeln, immer, wenn man die Konstanten zusammenfasst und mit c bezw. c' bezeichnet, auf die Form bringen: ∑xWred = c + c'u2 . . . . . . . . . . 40) wobei demnach c' das reduzierte Gewicht des letzten Vorschalthebels bezogen auf seinen grössten Hebelarm, c das auf den Hebeldrehpunkt des ersten Hebels reduzierte Gewicht sämtlicher übrigen Hebel bedeutet deren Uebersetzungsänderung als abgeschlossen gedacht ist. Je nach Anzahl der vorhandenen Hebel sind die Werte der Konstanten für c und d verschieden. Bei Vorhandensein nur eines Hebels ist: c = 0, c' = x'1W1, bei zwei Hebeln: c = x'1W1u12, c' = x'2W2, bei drei Hebeln: c = x'1W1u12+ x'2W2u22, c' = x'3W3, bei n Hebeln: c = x'1W1u12 + . + x'n – 1W'n – 1u2n – 1, c' = x'nWn. Setzt man Gleichung 40 in Gleichung 39 ein, so lautet diese m_u\,z^2=\frac{3600000}{E}\cdot \frac{u}{1+u+\frac{c+c'\,u^2}{L+F}}. . . 41) Trägt man nun wieder u auf der Abscisse das dazugehörige muz2 auf der Ordinate eines rechtwinkligen Coordinatensystems ab, indem man die Vorschaltung der einzelnen Hebel wieder nacheinander nach Erreichung der Uebersetzungen u1, u2 usw. vorgenommen denkt, so erhält man eine der unstetigen Kurve für ∑xWred entsprechende an den Punkten u1, u2 usw., ebenfalls unstetige Kurve für muz2, wie Fig. 16 zeigt, die für die Verhältnisse einer dreihebeligen Wage entworfen ist, während Fig. 16a das Wachstum von mz2 mit u > 1 für eine einheblige Wage zeigt. Die plötzliche Vorschaltung eines neuen Hebels hat also immer eine plötzliche Abnahme des Wertes muz2 zur Folge; durch die weitere Verstärkung der Uebersetzung an diesem Hebel wird jedoch wieder eine Zunahme des muz2-Wertes erfolgen, bis ein Maximum erreicht ist, nach dessen Ueberschreitung die weitere Uebersetzungssteigerung an demselben Hebel nur schädlich für muz2 wird sein können. Textabbildung Bd. 321, S. 713 Fig. 16. Ob dieses Maximum die durch den Vorschalthebel entstandene Abnahme des muz2-Wertes ausgleicht, ob also das Maximum ein absolutes und nicht nur analytisches Maximum sein wird, dafür liesse sich wohl eine allgemeine Formel ableiten; da sie aber sehr umständlich wird und keinen Vorteil in der Anwendung verspricht, wird es zweckmässiger sein, die Entscheidung für obige Frage durch eine Zahlenrechnung für den jeweils vorliegenden Fall herbeizuführen, die sich einfach genug gestaltet. Das der Gleichung 41 entsprechende Maximum tritt ein, wenn bei einarmigem n-tem Hebel u=\sqrt{\frac{L+F+c}{c'}} . . . . 41a) geworden ist. Ist dagegen der n-te Hebel ein zweiarmiger, so erleidet Gleichung 41 und 41 a infolge der Verschiebung der die Aenderung von ∑xWred mit u ausdrückenden Parabelschar der Fig. 12 eine Modifikation. Wenn c und c' ihre frühere Bedeutung beibehalten, so wird aus Gleichung 41 mit Beachtung des auf Seite 51 Gesagten: m_u\,z^2=\frac{3600000}{E}\,\frac{u}{1+u+\frac{c+c'\,(u^2-u\cdot u_{n-1}+{u^2}_{n-1})}{L+F}} 42) wobei un – 1 die Uebersetzung angibt, die das System hätte, wenn der n-te Hebel eine Uebersetzung 1 : 1 zeigte. Der Gleichung 42 entspricht ein Maximum für muz2 bei u=\sqrt{\frac{c'+c+L+F}{c'}} . . . 42a) In der Regel wird schon \sqrt{\frac{c}{c'}}\,>\,u_{n-1} sein, da bei einer Uebersetzungsänderung im Sinne u > 1 die Vorschalthebel für gleiches L + F, immer leichter werden dürfen, entsprechend den kleineren Kräften, die an ihnen angreifen. Demnach wird erst recht der den Gleichungen 41a und 42a entsprechende u-Wert grösser sein als un – 1, so dass das den Gleichungen 41 und 42 entsprechende Maximum immer durch Verstärkung der Vorschalthebelübersetzung erreicht werden kann, also jedem neuen Vorschalthebel immer wieder ein neues Maximum entspricht. Aus Gleichung 42a ist übrigens noch zu ersehen, dass eine Uebersetzungssteigerung für den Fall, dass man nur einen einzigen Hebel anwenden will, für den Fall, also, dass c = 0, c' = x1'W1 und un – 1 = 1 zu setzen ist, nur dann nennenswerten Vorteil bringen wird, wenn L + F gross gegenüber dem reduzierten Balkengewicht ist; bei Präzisionswagen mit geringer Tragfähigkeit wird also meist die Anwendung ungleicharmiger Hebel nur wenig zweckmässig sein, sie kann indessen bedeutenden Vorteil bringen bei einhebeligen Wagen grosser Tragfähigkeit. Textabbildung Bd. 321, S. 713 Fig. 16a. Es ist hier noch für den Fall, dass man eine Wage bestimmter Tragfähigkeit für günstigste Teilübersetzungen bauen wollte, des früher bereits erwähnten Umstandes zu gedenken, dass das ursprünglich angenommene Gewicht eines Hebels für die auf Grund der bisherigen Betrachtungen zu gewinnende günstigste Uebersetzung zweckmassiger Weise geändert werden könnte; es wird bei zweiarmigen Hebeln bestimmter Gesamtlänge – die Längen der Hebel einer Wage werden, abgesehen vom Oberbalken, dessen Dimensionierung später behandelt werden soll, in praxi meist durch die Raumverhältnisse festgelegt sein – das Gewicht immer, bei einarmigen Hebeln nach Ueberschreitung der Uebersetzung 2 : 1 mit wachsender Uebersetzung bei gleicher Beanspruchung des Materials geringer genommen werden können. Setzt man also nunmehr das Gewicht des Hebels entsprechend der ausgerechneten Uebersetzung fest, so könnte man zu diesem Gewicht, ein neues bestes u bestimmen, für das wiederum das Gewicht korrigiert werden könnte, auf Grund dessen wiederum ein neues u bestimmt werden kann. Auf diese Weise kann man sich einem Zustand nähern, bei dem für die günstigste Uebersetzung die Grenze der höchst zulässigen Belastung erreicht ist. In der Regel wird ein befriedigender Zustand schon bei der zweiten Gewichtsbestimmung eintreten. Damit können wir die Untersuchungen über den Einfluss der Massenverteilung abschliessen, nachdem wir in den Gleichungen 41 und 42 ein einfaches Mittel gewonnen haben, bei bestimmten Konstruktionsdaten die Hebelmassen möglichst günstig zu verteilen, insbesondere aber eine Entscheidung darüber zu treffen, ob ein weiterer Vorschalthebel im Interesse der Empfindlichkeits- und Schwingungszahlsteigerung liegt. 10. Gütezahl bei Wagen. Wir wollen indessen noch auf ein in den Gleichungen 39, die für u < 1, bezw. 41 und 42, die für u > 1 gelten, steckendes Kriterium für die Güte der Konstruktion einer Wage hinweisen. Könnte man in den beiden Fällen der Uebersetzungsänderung die Hebelmassen so klein halten und ihre Verteilung so günstig anordnen, dass ihr Betrag \frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F}, der die im Verhältnis zur Tragfähigkeit der Wage angehäuften Hebelmassen kennzeichnet, gegen 1 bezw. gegen u so klein wird, dass er vernachlässigbar erscheint, so würde für u = 0 in dem einen Fall, für u = ∞, im anderen Fall ein Idealwert für mz2 erreicht von der Grösse m\,{z_0}^2=\frac{3600000}{E}. Der Ausdruck \frac{m\,z^2}{m\,{z_0}^2}=\frac{1}{1+u+\frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F}}=\eta für u < 1, bezw. \frac{m\,z^2}{m\,{z_0}^2}=\frac{u}{1+u+\frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F}}=\eta für u > 1 stellt demnach eine Zahl dar, die angibt, in welchem Masse man sich dem Idealwert durch zweckmässige Anordnung und Abmessungen der Konstruktionsglieder genähert hat. Diese Zahl muss, wie ohne weiteres aus der Form des Ausdruckes hervorgeht, stets kleiner sein als 1. Sie bildet eine dem Nutzeffekt der Kraftmaschinen ganz analoge Gütezahl, die zur Beurteilung der Wagenkonstruktion dienen kann. Die Gütezahl η lässt sich rechnerisch leicht ermitteln, wenn man den Wert x für jeden Hebel bestimmt hat, was leicht reichlich genau durch Schwingungsversuche an den einzelnen Hebeln für sich geschehen kann. Für Hebel ähnlicher Form wird x denselben Wert haben, der bei der üblichen Hebelform wenig kleiner als ⅓ sein wird. Beispielsweise sollen die Gütezahlen einiger angeführter Konstruktionen ermittelt werden. Der Fig. 16 ist eine Gleiswage in Laufgewichtskonstruktion üblicher Bauart zu Grunde gelegt. Die Last ruht auf einer Brücke, die sich in vier Tragschneiden auf zwei Dreieckshebel der Uebersetzung 10 : 1 abstützt, die selbst wieder an einem gemeinschaftlichen Querhebel angreifen, der mittels Zugstange auf den Oberbalken wirkt. Die beiden ersten Hebel (die zwei parallel geschalteten einander vollständig gleichen Dreieckshebel sind als ein Hebel im Sinne unserer Betrachtungen aufzufassen) haben je eine Uebersetzung von 10 : 1, und sind einarmig, während der zweiarmige Oberbalken bei der grössten zu wiegenden Last von L + F= 30000 kg eine Uebersetzung von 1 : 15 aufweist. Demnach wird nach Gleichung 42 \eta=\frac{u}{u+1+\frac{c+c'\,(u^2-u\cdot u_{n-1}+{u^2}_{n-1})}{L+F}}, wobei       u = 1500 un – 1 = 100 L + F = 30000 kg; c und c' ergeben sich aus den Hebelgewichten, wenn man den Reduktionsfaktor für die Dreieckshebel zu ⅓, den des Querhebels zu etwa ½ ansetzt; da u2 . x1W1 = ⅓ . 300 . 100 . 2 =   20000 kg u22 . x2W2 = ½ . 160 . 1002   = 800000 kg, wird                                         c = 820000 kg. Der Oberbalken liesse sich wohl auf ein reduziertes z3W3 = 10 herunterbringen, so dass c' = 10 würde. Somit ergibt sich \eta=\frac{1500}{1501+\frac{820000+10\,(1500^2-1500\cdot 100+100^2)}{30000}}=\frac{1500}{2232}=\sim\,0,67. Sofern man den Oberbalken mit einer Uebersetzung ausführen könnte, die dem System die günstigste Gesamtübersetzung gäbe, die sich aus u=\sqrt{\frac{L+F+c+c'}{c'}} mit u = ∾ 292 berechnet, so ergäbe sich eine erheblich höhere Gütezahl, nämlich \eta=\frac{292}{293+\frac{820000+830000}{30000}}=\frac{292}{348}=\sim\,0,85. Führt man schliesslich den Oberbalken gleicharmig aus, so hätte man mit u = 100 die Gütezahl \eta=\frac{100}{101+\frac{820000+100000}{30000}}=\frac{100}{131,7}=0,76. Aus der Zeichnung einer Dezimal wage Quintenzscher Bauart, die für parallele Zugstangen eine von der Lage der Last unabhängige Empfindlichkeit zeigt, weshalb wir bei der Annahme paralleler Zugstangen Brückengewicht und Last in der Tragschneide eines Hebels angreifend denken können, – der zweite Hebel der als Brücke ausgebildet ist, ist damit vollständig berücksichtigt – entnehme ich die Tragkraft L + F zu 2000 kg, das Gewicht des ersten Hebels zu W1 = 36 kg, seine Uebersetzung zu 6 : 1, das Gewicht des Oberbalkens, der eine Uebersetzung 1,66 : 1 zeigt, ist W2 = 24 kg. Sofern x1 = ⅓, wird c = ⅓ . 36 . 62 = ∾ 432 und \eta=\frac{10}{11+\frac{432+8\,(100^2-10\cdot 1,66+6^2)}{200}}=\frac{10}{11+0,5}=0,87. Auch diese Gütezahl liesse sich noch steigern, wenn man den günstigsten Wert für u wählte; der günstigste Wert von u ergibt sich aus u=\sqrt{\frac{2000+432+8}{8}} zu u = 17,5. Mit diesem würde η \eta=\frac{17,5}{18,5+\frac{1762}{2000}}=\frac{17,5}{19,381}=0,905. Als Beispiel einer einhebligen Wage diene eine gleicharmige Wage für 1000 kg Tragkraft, deren Balkengewicht 18 kg ist. Mit x = ⅓ und u = 1 ergibt sich \eta=\frac{1}{1+1+\frac{1/3\cdot 18}{1000}}=\sim\,0,5. Mit dem günstigsten Wert für u mit u=\sqrt{\frac{1000+6}{6}}=\sim\,13 wird \eta=\frac{13}{14+\frac{1006}{1000}}=\sim\,0,87. Da man entsprechend dem kleineren Biegemoment, das die Last nunmehr hervorruft, das Balkengewicht noch verkleinern könnte, wäre eine weitere Steigerung der Gütezahl möglich. Die so errechnete Zahl η wird nun von der Zahl η' verschieden sein, die man erhält, wenn man das durch Experiment leicht bestimmbare effektive mnz2 einer fertigen Wage, dividiert durch den Idealwert mz02. Zur Bestimmung des effektiven mnz2 hat man nur nötig die infolge der Zulage des dem Gewicht L + F entsprechenden Uebergewichtes \Delta\,L=\frac{L+F}{E} eintretende Verschiebung von der Endschneide zu messen, sowie die demselben Gewicht L + F entsprechende Schwingungszahl z festzustellen. Die so experimentell bestimmte Gütezahl η' wird nun immer kleiner sein müssen, als die errechnete Zahl η weil diese ohne Rücksicht auf Reibung bestimmt wurde. Der Unterschied zwischen η und η' wird im allgemeinen um so grösser werden, je grösser die Reibung, und diese, je grösser die Belastung ist. Da beide Werte η und η' leicht hinreichend genau bestimmt werden können, hat man in diesen Zahlen ein Mittel, um die Grösse der Reibungen festzustellen, über deren Einfluss auf die Genauigkeit und Empfindlichkeit der zusammengesetzten Hebelwagen zahlenmässig nichts vorliegt. Die Kenntnis der Reibung bei stark belasteten Schneiden, die Zapfen mit sehr kleinem Krümmungsradius vorstellen, wäre von grossem Wert, um die für eine bestimmte Empfindlichkeit noch zulässige Grösse dieses Krümmungsradius festzustellen, von dem in erster Linie die zulässige Beanspruchung der Schneiden abhängt. Vielleicht führte die durch den oben angedeuteten Versuch leicht erlangbare Erkenntnis der Reibung dahin, anstatt der üblichen Zuschärfung bei stark belasteten Schneiden messbare Abrundungen zu wählen. (Fortsetzung folgt.)