Beitrag zur Theorie und Konstruktion der Wage, mit besonderer Berücksichtigung der n-fach übersetzten Hebelwage. Von Franz Lawaczeck, Dipl.-Ing., Camberg. (Schluss von S. 730 d. Bd.) Beitrag zur Theorie und Konstruktion der Wage, mit besonderer Berücksichtigung usw. 12. Abhängigkeit der Empfindlichkeit und der Schwingungsdauer der fertigen Wage von der Belastung bei einer Gewichtswage und bei einer Laufgewichtswage. Es erübrigt noch zu untersuchen, wie bei einer fertigen Wage Schwingungszahl und Empfindlichkeit mit der Last sich ändern. Hierbei ist ein Unterschied zu machen zwischen solchen Wagen, bei denen die Last, deren Gewicht festgestellt werden soll, durch Zu- oder Abnehmen von bekannten Gewichtsstücken ausgeglichen wird, wobei das Uebersetzungsverhältnis konstant bleibt, und solchen Wagen, bei denen durch Veränderung des Uebersetzungsverhältnisses bei konstantem Gegengewicht die Last ausgeglichen wird. Diese letzteren Wagen heissen Laufgewichtswagen, während die ersteren einfach Gewichtswagen genannt werden. Für beide Wagentypen gelten die Gleichungen 9 und 24 in der Form: $$m=\frac{\mathrm{\Delta }{L}_1{f}^2}{\text{frakfamily}{M}_3+\text{frakfamily}{M}_2\frac{e^2}{d^2}+\text{frakfamily}{M}_1\frac{c^2}{b^2}\frac{e^2}{d^2}}=\frac{\frac{(L+F)}{u}{f}^2}{\text{frakfamily}{M}_3+\text{frakfamily}{M}_2\frac{e^2}{d^2}+\text{frakfamily}{M}_1\frac{c^2}{b^2}\frac{e^2}{d^2}}\cdot \frac{1}{E}$$ 49) $$z^2=3600000\frac{\text{frakfamily}{M}_3+\text{frakfamily}{M}_2\frac{e^2}{d^2}+\text{frakfamily}{M}_1\frac{e^2}{d^2}\frac{c^2}{b^2}}{[\left(\frac{L+F}{u}\right)(1+\frac{1}{u})+\mathrm{\Sigma }x{W}_{red}]f^2}$$ 50) Bei der Gewichtswage, die wir zuerst betrachten wollen, bleiben sämtliche Werte konstant ausser (L + F). Die „$$\text{frakfamily}M$$“-Werte bestehen aus zwei Summanden, von denen der eine mit (L + F) als Faktor auftritt, während der andere konstant bleibt. Fasst man sämmtliche Konstante zusammen, so lassen sich obige Gleichungen auf die Form bringen: $$m=\frac{L+F}{E\cdot u}\cdot \frac{f^2}{c_1{e}_1^{\prime }+c_2{e}_2^{\prime }(L+F)}.$$ 49a) $$z^2=3600000\frac{c_1{e}_1^{\prime }+c_2{e}_2^{\prime }(L+F)}{[\left(\frac{L+F}{u}\right)(1+\frac{1}{u})+\mathrm{\Sigma }x{W}_{red}]f^2}.$$ 50a) Dabei kann unter e'1 ein ideeller Wert für den Schwerpunktsabstand des Oberbalkens von seiner Drehachse verstanden werden, der gleichwertig wäre der Summe der Einflüsse der Schwerpunktsabstände sämtlicher Hebel; analoges gilt für e'2, das also den Einfluss sämtlicher e2-Werte vertritt. Die Gleichung 49a) für m ist, abgesehen von dem Wert der Konstanten, genau übereinstimmend mit der Gleichung 2a, die für einen einzigen Hebel aufgestellt ist, wenn man in dieser beide Seiten mit f multipliziert und f . tg Δϕ durch m ersetzt. Die e'2- und e1-Werte sind folglich bei zusammengesetzten Wagen in ihrem Einfluss auf die Aenderung der Empfindlichkeit mit der Belastung gleichartig mit dem Einfluss, den sie bei einer einfachen Wage haben. Trägt man m auf der Ord., L + E auf der Abscisse eines rechtwinkligen Koordinatensystems auf, so erhält man ebenso, wie durch Gleichung 2a eine gleichseitige Hyperbel, deren Asymptoten die Gleichungen haben: $$x_1=\mp \frac{c_1^{\prime }{e}_1^{\prime }}{c_2{e}_2^{\prime }},$$ $$y_1=+\frac{f^2}{E\cdot c_2{e}_2^{\prime }}.$$ Für negatives e'2 wächst also zunächst m sehr stark, um bei der Belastung, die indifferentem Gleichgewicht entspräche, also bei $$(L+F)=\frac{c_1{e}_1^{\prime }}{c_2{e}_2^{\prime }}$$ von + ∞ nach – ∞ überzuspringen. Von da ab würde die Wage wegen des labilen Gleichgewichts, in dem sie sich bei höherer Belastung befände, unbrauchbar. Wird e'2 = 0, so geht die Hyperbel in eine Gerade über mit der Gleichung $$m=\frac{f^2}{c_1{e}_1^{\prime }}\frac{L+F}{E\cdot u}=\frac{f^2}{c_1{e}_1^{\prime }}\frac{\mathrm{\Delta }L}{u}.$$ Die Senkung ist dem Zulagegewicht direkt proportional und gestattet also die Grösse eines Uebergewichts direkt aus dem Ausschlag zu bestimmen, sofern man die Ausschlaggrösse für die Gewichtseinheit kennt. In ähnlicher Weise wie der Verlauf der „m“-Kurve sich ändert, je nachdem e'2 ≷ 0, ändert sich auch die z2-Kurve. Trägt man auf der Ordinate y = z2 auf und auf der Abscisse x = L + F (s. Fig. 19), so stellt die Gleichung für z2 ebenfalls gleichseitige Hyperbeln dar, die alle durch denselben Punkt $$x=0,y=3600000\frac{c_1{e}_1^{\prime }}{f^2\mathrm{\Sigma }x{W}_{red}}$$ gehen. Je nachdem e'2 ≷ 0, sind die Asymptotengleichungen, $$y_1=\pm \frac{3600000}{f^2(1+\frac{1}{u})}u{c}_2{e}_2^{\prime },$$ 11) Siehe in Fig. 19 die strichpunktiert gezeichneten Asymptoten bei 2f für e'2 > 0 und bei 4 für absolut genommen gleichgrosses e'2 < 0. während in beiden Fällen $$x_1=-\frac{\mathrm{\Sigma }x{W}_{red}}{1+\frac{1}{u}}u.$$

Fig. 19.

Falls y1 > y bei x = 0 (siehe Asymptote bei 1, in Fig. 19), nimmt die Schwingungszahl mit steigender Belastung zu, falls e'2 < 0 stark ab, um bei dem indifferenten Gleichgewicht Null zu sein, über diesen Punkt hinaus ist die Wage unbrauchbar. Denkt man sich den Uebergang von + e'2 zu – e'2 allmählich vorgenommen, so entspricht jedem neuen Wert von e'2 eine flachere Hyperbel. Da sie aus dem Konkaven schliesslich in das Konvexe übergeht, muss es einen bestimmten Wert von e'2 geben, bei dem die Hyperbel zu einer Geraden degeneriert. Ordnet man die Gleichung nach (L + F), so wird: $$[z^2\left(\frac{1+u}{u^2}\right)-\frac{3600000}{f^2}{c}_2{e}_2^{\prime }](L+F)=\frac{3600000}{f^2}{c}_1{e}_1^{\prime }-z^2\mathrm{\Sigma }x{W}_{red}.$$ Beide Seiten werden gleich Null, wenn $$z^2=3600000\frac{c_1{e}_1^{\prime }}{f^2}\frac{1}{\mathrm{\Sigma }x{W}_{red}}$$ oder wenn $$e_2^{\prime }=z^2\frac{1+u}{u^2\cdot 3600000}\frac{f^2}{c^2},$$ oder z- eingesetzt $$e_2^{\prime }=\frac{1+u}{u^2\cdot c_2}\cdot \frac{c_1{e}_1^{\prime }}{\mathrm{\Sigma }x{W}_{red}}.$$ Für einen gleicharmigen12)Vergl. E. Brauer, Die Konstruktion der Wage. 1. Auflage. Weimar 1880. S. 118. Wagebalken wird $$u=1,c_1=W_1,c_2=1+\frac{1}{u}=2,\mathrm{\Sigma }x{W}_{red}=x_1{W}_1=\sim \frac{W_1}{3},$$ folglich ist bei u = 1 die Bedingung für konstantes z trotz veränderlicher Belastung: $$e_2^{\prime }=e_2=\frac{e_1}{x_1}=\sim 3e_1.$$ Ist schliesslich e'2 = 0, so wird die veränderliche Asymptote mit der x-Achse zusammenfallen (in Fig. 19. Asymptote bei 3). Das Ergebnis dieser Untersuchung zusammengefasst: Die Schwingungszahl einer zusammengesetzten Hebelwage wächst oder fällt mit steigender Belastung, je nachdem $$e_2^{\prime }\gtrless \frac{1+u}{u^2\cdot c_2}\cdot \frac{c_1{e}_1^{\prime }}{\mathrm{\Sigma }x{W}_{red}}$$; für $$e_2^{\prime }=\frac{1+u}{u^2\cdot c_2}\frac{c_1{e}_1^{\prime }}{\mathrm{\Sigma }x{W}_{red}}$$ bleibt die Schwingungszahl bei jeder Belastung konstant.

Fig. 20.

Wollen wir die Gleichungen 49 und 50 dazu benutzen, um auch für eine Laufgewichtswage die Empfindlichkeit und Schwingungszahlen als Funktion der Belastung zu ermitteln, so muss zunächst die Bedeutung der Werte e2 und e1 erörtert werden. Betrachtet man das Laufgewicht als mit L1 + F1 der Gewichtswage gleichwertig, so wird e1 der Schwerpunktsabstand des Wagebalkens ohne Laufgewicht, von einer durch die Drehschneide des Oberbalkens in der Nullage gelegten Wagerechten sein. Dem früheren analog müssen wir unter e2 wieder den Abstand des Angriffspunktes der Resultierenden der am Wagebalken ausser dem Eigengewicht angreifenden Kräfte von dem Drehpunkt verstehen. Dieser Angriffspunkt liegt auf der Verbindungslinie zwischen der Endschneide und dem Schwerpunkt des Laufgewichts. Im allgemeinen wird sich dieser Abstand mit der Verschiebung des Laufgewichts ändern. Nehmen wir in Fig. 20 etwa wagerechte Lage der Führungsbahn des Laufgewichts für die Nullage an, so wird, wenn e0 den Abstand der Endschneide von der durch den Drehpunkt gelegten Wagerechten und e'1 den Abstand des Schwerpunktes des Laufgewichtes von derselben Wagerechten bedeutet, die Veränderlichkeit von e'2 dargestellt durch die Beziehung: $$e_2=e_0\frac{f+x}{f+x+e},\text{ wo }\frac{x}{f+e+x}=\frac{e_1^{\prime }}{e_0},$$ woraus $$e_2=e_0\frac{f+(f+e)\frac{e_1^{\prime }}{e_0-e_1^{\prime }}}{(f+e)(1+\frac{e_1^{\prime }}{e_0-e_1^{\prime }})}=\frac{f{e}_0+e{e}_1^{\prime }}{f+e}$$ . 51) Weiter ist zu bedenken, dass bei derselben Wage der jeweilige Ausschlag durch die Senkung eines stets gleichlangen Zeigers beobachtet wird. Hat dieser Zeiger die Länge f1, und ist der Ausschlag an seinem Ende gemessen mu, so wird sich mu zu dem am Schwerpunkt des Laufgewichts gemessen zu denkenden m verhalten wie f1 zu f. Setzen wir demnach $$m_u=m\frac{f_1}{f}$$, $$\mathrm{\Delta }{L}_1=\frac{L_1+F_1}{u\cdot E}=\frac{G}{E}=\text{const.},$$ so geht Gleichung 51 über in $$m_u=\frac{\mathrm{\Delta }{L}_1{f}_{1}f}{\text{frakfamily}{M}_3+\text{frakfamily}{M}_2\frac{b^2}{d^2}+\text{frakfamily}{M}_1\frac{e^2}{d^2}\frac{c^2}{b^2}}=\frac{G{f}_{1}f}{\text{frakfamily}{M}_3+\text{frakfamily}{M}_2\frac{e^2}{d^2}+\text{frakfamily}{M}_1\frac{c^2}{b^2}\frac{e^2}{d^2}}\frac{1}{E}$$ Die Ausdrücke $$\text{frakfamily}{M}_2\frac{b^2}{d}+\text{frakfamily}{M}_3\frac{e^2}{d^2}\frac{c^2}{b^2}$$ lassen sich auf die Form bringen: G . f . const. + Const., während bei $$\text{frakfamily}{M}_3$$ zu bedenken ist, dass das in ihm enthaltene e2 mit f variabel ist. Es ist infolge der Beziehung 51 $$\text{frakfamily}{M}_3=W_3{e}_1^{‴}+G\cdot (1+\frac{f}{e})e_2=W_3{e}_1^{‴}+Ge\frac{f}{e}+G{e}_1^{\prime }$$ 52) Da f sich direkt proportional mit der Belastung auf der Brücke ändert, hat man in der Gleichung mu = f(f) die gesuchte Beziehung zwischen Empfindlichkeit und Belastung für eine Laufgewichtswage. Fasst man alle Konstanten zusammen, so erhält Gleichung 49 die Form: $$m_u=c\frac{f}{A+Bf},$$ . . . . 53) woraus hervorgeht, dass die Laufgewichtswage sich bezüglich der Empfindlichkeit bei steigender Belastung genau so verhält wie die Gewichtswage. Wie Beziehung 52 erkennen lässt, wird bei einer aus einem Hebel bestehender Laufgewichtswage die durch Gleichung 53 dargestellte Hyperbelbereits zur Geraden degenerieren, wenn $$\{\genfrac{}{}{0ex}{}{e_0=0}{e_1^{\prime }=\text{const.}}$$ d.h. wenn die Endschneide in der durch die Drehschneide gelegten Wagerechten liegt und die Führungsbahn des Laufgewichts dieser Wagerechten parallel wird. Für diesen Fall wird dann die Aenderung der Schneidenüberhöhung e2 durch Verschieben des Laufgewichts so sein, dass das Produkt $$G\cdot (1+\frac{f}{e})e_2$$ stets konstant bleibt. Unter Beachtung des eben Entwickelten lässt sich die Gleichung für die Schwingungszahl in der Form anschreiben: $$$$\begin{array}{rcl}{z}^2& =& \frac{A+B\cdot f}{G(1+\frac{1}{u})f^2+\mathrm{\Sigma }x{W}_{red}}\cdot 3600000\\ & =& \frac{(A+Bf)3600000}{G(1+\frac{e}{f}\cdot \frac{c}{d}\cdot \frac{a}{b})+\mathrm{\Sigma }x{W}_{red}{f}^2}\end{array}$$$$ . . . . 54) Da ∑xWred . f2 das auf die Drehschneide des Oberbalkens bezogene Trägheitsmoment xg sämtlicher Hebelmassen bedeutet, dieses aber bei derselben Wage konstant13)Nach Früherem ist$$\mathrm{\Sigma }\kappa W\cdot f^2=[{\kappa }_1{W}_1\frac{c^2}{d^2}\cdot \frac{e^2}{f^2}+{\kappa }_2{W}_2\frac{e^2}{f^2}+{\kappa }_3{W}_3]f^2={\kappa }_1{W}_1\frac{c^2}{d^2}\cdot c^2+{\kappa }_2{W}_3{e}^2+{\kappa }_3{W}_3{f}^2.$$Da bei einem Laufgewichtsbalken im Gegensatz zu den Entwicklungen über k Seite 695 und ff. die Schneide B der Fig. 10 bei konstantem l beweglich zu denken ist, so wird k3 auf f bezogen gedacht mit f veränderlich sein müssen, und zwar ergibt sich ohne weiteres $${\kappa }_3={\kappa }_3^{\prime }\frac{{f_1}^2}{f^2}$$, wenn k'3 eine Konstante und f1 die Zeigerlänge des Oberbalkens bedeutet. Somit ist für die Laufgewichtswage ∑kW . f = konst. sein muss, ergibt sich nach Auflösen der Klammer die Form $$z^2=\frac{A+Bf}{G{f}^2+Cf+D}3600000,$$ wobei A, B, G, C und D Konstanten sind. Trägt man z2 auf der Ordinate, f auf der Abscisse eines rechtwinkligen Coordinatensystems ab, so erhält man eine Kurve, die im allgemeinen drei Asymptoten hat, von denen zwei der Ordinate parallel laufen, die dritte mit der Abscissenachse zusammenfällt. Die beiden erstgenannten Asymptoten können je nach Grösse der Konstanten des Nenners imaginär werden und schneiden, falls sie reell sind, was nur für verhältnismässig kleines D, also für kleine Trägheitsmomente der Hebelmassen eintreten kann, negative Beträge auf der x-Achse ab; die ihnen entsprechenden Kurvenzweige interessieren uns also nicht. Der positive Ast der Kurve, in Fig. 21 dargestellt, zeigt ein Maximum für $$f=-\frac{A}{B}\pm \sqrt{\frac{A^2}{B^2}+\frac{BD-AC}{GB}}=\frac{A}{B}(-1\pm \sqrt{1+\frac{(BD-AC)B}{A^{2}G}})$$ . . . 55) Es kann f ⋚ 0 sein, je nachdem BD ⋚ AC wird. Für eine aus einem Hebel bestehende Laufgewichtswage haben die Konstanten z.B. folgenden Wert, wenn e'1 = 0 (vergl. Gleichung 54): $$A=W{e}_1,B=G\frac{e_0}{b},C=G\cdot b,D=xW{a_1}^2,$$ folglich $$BD-AC=xW{a_1}^2\cdot G\frac{e_0}{b}-GWeb.$$ B wird bei kleinem e0, was ja die Regel ist, sehr klein sein, es wird deshalb meistens der Bruch unter der Wurzel der Gleichung 55 ein echter sein, für welchem Fall genügend angenähert gesetzt werden könnte: $$f\text{ bezw. }a=\frac{BD-AC}{2GA}=\frac{x\frac{{a_1}^2}{b^2}\frac{e_0}{e_1}-1}{2b}.$$ Diese Gleichung lässt jedenfalls erkennen, dass unter sonst gleichen Verhältnissen das Maximum für z2 um so eher eintritt, je kleiner e0 ist. Sofern

Fig. 21.

$$e_0\stackrel{\le }{>}\frac{b^2}{a_1^2}\cdot \frac{e_1}{x}$$ wird das Maximum bei negativem a eintreten, die Schwingungszahl also mit wachsender Belastung von vornherein abnehmen; nimmt mit zunehmender Belastung die Schwingungszahl anfänglich zu, so ist das ein Beweis, dass e0 von Null verschieden ist und einen positiven Wert hat. Nach Ueberschreitung des Maximums wird sich z2 dann asymptotisch der Abscissenachsenachse nähern. Ist e0 negativ, so wird die Schwingungszahl mit wachsender Belastung abnehmen, um bei einem endlichen Wert von a entsprechend dem dann eintretenden indifferenten Gleichgewicht, Null zu werden. Für höhere Belastung wäre diese Wage unbrauchbar. Für e0 = 0 endlich wird die Schwingungszahl stets mit steigender Last abnehmen aber der Abscissenachse sich asymptotisch nähern. Diese Verhältnisse sind durch Fig. 21 veranschaulicht, die für eine einfache Laufgewichtswage mit einer Uebersetzung 1 : 10 für eine Tragkraft von 100 kg entworfen ist. Für eine aus mehreren Hebeln zusammengesetzte Laufgewichtswage ergäbe sich im wesentlichen dasselbe Bild.