Biegung eines dünnwandigen Hohlzylinders durch achsensymmetrische Kräfte und ungleiche Wandtemperatur. Von Dr.-Ing. Max Ensslin, Stuttgart. Biegung eines dünnwandigen Hohlzylinders durch achsensymmetrische Kräfte und ungleiche Wandtemperatur. Ein Hohlzylinder mit Endflanschen und Böden, der durch innern Ueberdruck oder Zentrifugalkräfte belastet ist – eine Hohlzylinderwand, die anders temperiert ist als die Endflanschen oder Abschlußböden – eine Zylinderwand, die in Richtung- der Wandstärke ungleiche Temperatur besitzt –, wird auf Biegung beansprucht. Obwohl eine solche Biegung in der Technik häufig vorkommt, z.B. bei Rohrleitungen, Gasmaschinenzylindern. Zentrifugen u.a. und obwohl die Aufgabe von E. Winkler (Zivilingenieur, 1858, Band 4), Grashof (Festigkeitslehre, 1866) und Love (Theory of Elasticity, 1893, Vol. 2) behandelt ist, ist die Vorstellung von dem Spannungs- und Formänderungszustand einer gebogenen Hohlzylinderwand in den Kreisen der Techniker eine meist recht unbestimmte. Die theoretische Untersuchung ist allerdings etwas schwierig im Vergleich zu dem, was Ingenieure vielfach von ihren Rechnungen her gewöhnt sind; auch sind die Schlußergebnisse der genannten Autoren nicht in einer Form gegeben, die eine rasche Anwendung auf technische Aufgaben gestattet. Es ist daher meine Absicht, den Gegenstand soweit zu verarbeiten – bis auf Sonderfälle und Zahlenbeispiele –, daß auch der konstruierende Ingenieur, der sich mit weitgehenden Berechnungen und den dazu erforderlichen Vorstudien naturgemäß in der Regel nicht beschäftigen kann, aus der Durchsicht der Arbeit und der Schlußergebnisse nützliche Anschauungen zu gewinnen vermag. Um die Biegung einer dünnen Hohlzylinderwand der Anschauung näher zu bringen, werden weiter unten charakteristische Sonderfälle zahlenmäßig durchgerechnet und der Verlauf der Spannungen graphisch dargestellt, wie das früher für Kreisplatten in D. P. J. 1904 geschehen ist. Ich benutze dabei die Ableitungen der genannten Autoren und gebe sie – in etwas anderer Form – ausführlich wieder, weil sie in Ingenieurkreisen wenig bekannt sind und weil von mathematischer Seite wegen der dabei gemachten Vernachlässigungen Einwände erhoben worden sind, was einige kritische Betrachtungen über die Zulässigkeit der Vernachlässigungen nötig macht. Die Schlußgleichungen, die für die technische Anwendung gebraucht werden, sind in dieser Arbeit auf einfachere Form gebracht, als dies bisher der Fall war. Die Beanspruchung eines dünnwandigen Hohlzylinders durch ungleiche Temperatur in Richtung der Wandstärke und besonders den Einfluß der Zylinderenden behandelt Föppl im Bd. 5 seiner „Technischen Mechanik“ in hübschem, leicht verständlichem Rechnungsgang. Das Wesentliche der nachfolgenden Behandlung liegt nicht in der etwas weiter gehenden Annäherung (Föppl nimmt zum Zweck der Vereinfachung keine Rücksicht auf die Querkontraktion), sondern in den anschaulichen und einprägsamen Schlüssen aus dem Endergebnis. Für die größte Temperaturspannung in der Umfangsrichtung wurde ein von dem Föpplschen verschiedener Wert gefunden. Es werden im nachfolgenden nur dünnwandige Hohlzylinder betrachtet, d.h. solche, deren Wandstärke genügend klein ist im Vergleich zum Zylinderhalbmesser. Von der Deformation ist vorausgesetzt, daß sie zur Zylinderachse symmetrisch sei; bei der Bearbeitung von Sonderfällen wird überdies angenommen, daß die beiden Zylinderhälften genau gleich deformiert werden (s. Fig. 1), und daß der Zylinder verhältnismäßig lang ist im Vergleich zu seinem Halbmesser. Man gewinnt gleichzeitig einen Ausblick, wie sich der Spannungszustand gestaltet, wenn nur ein Zylinderende durch äußere Kräfte belastet, das andere ganz frei ist, wenn also kein Symmetriequerschnitt der Verzerrung vorhanden ist, wenigstens sofern der Zylinder verhältnismäßig lang ist. Textabbildung Bd. 324, S. 49 Fig. 1. Wenn einerseits die Behandlung einfacher Sonderfälle trotz mannigfacher einschränkender Annahmen für die technische Anwendung wertvoll ist, weil solche Fälle in der Technik häufig vorkommen, so erweist sich die Bearbeitung einfacher Fälle anderseits auch darum als lehrreich und fruchtbar, weil dabei der Blick auch für weniger einfache Fälle geübt wird. Bevor die Ableitung der Biegungsgleichungen für die Hohlzylinderwand in Angriff genommen wird, will ich beschreiben, wie ich mir die Anwendung dieser Gleichungen etwa auf den Hohlzylinder mit Endflanschen denke, wenn derselbe einem inneren Ueberdruck ausgesetzt ist. Ohne Endflanschen würde der Hohlzylinder durch den inneren Ueberdruck einfach radial erweitert und die Zylinderform beibehalten. Die radiale Erweiterung ist leicht berechenbar. Besitzt der Zylinder Endflanschen, so kann sich die radiale Erweiterung an den Enden nur so weit ausbilden, als es die Flanschen gestatten, die je nach ihrer Stärke mehr oder minder große Biegungsmomente und radial gerichtete Schubkräfte ringsum auf die Zylinderenden ausüben. Sei u1 die radiale Erweiterung des Zylinders ohne Endflanschen u2 die radiale Erweiterung der Endflanschen, so müssen die Momente und Schubkräfte an den Zylinderenden offenbar so groß sein, daß sie imstande sind, den um u1 erweiterten Zylinder um u1 – u2 zurückzubiegen und daß sie – in gleicher Größe, aber entgegengesetztem Sinn wirkend – den Flansch um u1 aufbiegen. Gleichzeitig muß die Schrägstellung des Flanschs bei der Biegung der Neigung des Zylinderendes gegen seine ursprüngliche Richtung entsprechen. Auf gleiche Weise kann man verfahren, wenn der Zylinder andere Temperatur hat als der Flansch. Textabbildung Bd. 324, S. 50 Fig. 2. So wird die Wirkung eines inneren Ueberdrucks und eines Temperaturunterschiedes einerseits und andererseits die Wirkung von Biegungsmomenten und Schubkräften auf den Zylinder getrennt betrachtet und die Gesamtwirkung nach dem Superpositionsgesetz als Summe der Einzelwirkungen angesehen. Daraus erklärt sich die Gliederung des Stoffes im Nachfolgenden I. Hohlzylinder mit gleichmäßiger innerer Pressung oder Zentrifugalkräften; II. Hohlzylinder mit gleichmäßiger achsialer Belastung; III. Hohlzylinder bei gleichmäßiger Erwärmung; IV. Hohlzylinder mit achsensymmetrischen Biegungsmomenten und Schubkräften an den Enden; V. Hohlzylinder mit linearer Temperaturverteilung in Richtung der Wandstärke; VI. Sonderfälle. Zahlenbeispiele. Der Einfluß der Belastung der Zylinderenden ist bei verhältnismäßig langen Zylindern auf die Randzone beschränkt. Einfluß der Wandstärke auf die Widerstandsfähigkeit der Hohlzylinderwand gegen Biegung. Einfluß der Zylinderlänge und des Radius auf Spannung und Verzerrung. Temperaturspannungen; VII. Kritische Bemerkungen zur Lösung. Geltungsbereich. Einheiten. Koordinatensystem. Bezeichnungen. Als Einheiten werden kg, cm und Celsiusgrade benützt. Bei Zylinderaufgaben benutzt man am vorteilhaftesten Zylinder- oder Halbpolarkoordinaten (r, ϕ, z); die Zylinderachse wird zur z-Achse gemacht, r hat die Richtung des Radius und der Winkel ϕ (0 bis 2π) wird von einer festen Achsialebene aus positiv gezählt, wenn man auf der, z-Achse in Richtung der abnehmenden z blickend, den Winkel ϕ im Uhrzeigersinn sich öffnen sieht. Als Mittelfläche bezeichnen wir den mit dem Radius \frac{r_a+r_i}{2} beschriebenen Zylinder, im gebogenen Zustand heißt diese elastische Mittelfläche. Die Normal- und Schubspannungen σ und τ, die an einem Zylinderelement, bestimmt durch (dr, dϕ, dz), angreifen können, erhalten Bezeichnungen, die aus Fig. 2 ersichtlich sindLamé hat die Gleichgewichtsbedingungen am Zylinderelement angegeben; er berücksichtigt noch Massenkräfte, wie die Schwerkraft und Trägheitskräfte infolge von Beschleunigungen am ganzen Zylinder oder infolge von elastischen Schwingungen; auf die Masseneinheit bezogen und in Richtung rϕz seien die beiden ersteren ρR, ρΦ, ρZ und die letzteren -\rho\,\frac{d^2\,u}{d\,t^2},\ -\rho\,\frac{d^2\,v}{d\,t^2},\ -\rho\,\frac{d^2\,w}{d\,t^2} (u, v, w Formänderungskoordinaten eines Zylinderpunkts, \rho=\frac{\gamma}{g} Dichte, t Zeit); dann ist nach Lamé:\frac{\delta\,\sigma_{rr}}{\delta\,r}+\frac{1}{r}\,\frac{\delta\,\tau_{\varphi\,r}}{\delta_{\varphi}}+\frac{\delta\,\tau_{z\,r}}{\delta\,z}+\frac{\delta_{rr}-\delta_{\varphi\,\varphi}}{r}+\rho\,R=\rho\,\frac{d^2\,u}{d\,t^2}\frac{\delta\,\tau_{r\,\varphi}}{\delta\,r}+\frac{1}{r}\,\frac{\delta\,\sigma_{\varphi\,\varphi}}{\delta_{\varphi}}+\frac{\delta\,\tau_{z\,\varphi}}{\delta\,z}+\frac{\tau_{r\,\varphi}+\tau_{\varphi\,r}}{r}+\rho\,\Theta=\rho\,\frac{d^2\,v}{d\,t^2}\frac{\delta\,\tau_{r,z}}{\delta\,r}+\frac{1}{r}\,\frac{\delta\,\tau_{\varphi\,z}}{\delta_{\varphi}}+\frac{\delta\,\sigma_{z\,z}}{\delta\,z}+\frac{\tau_{rz}}{r}+\rho\,Z=\rho\,\frac{d^2\,w}{d\,t^2}. Ferner bedeutet: \alpha=\frac{1}{E} den Dehnungskoeffizienten = reziproker Elasti-zitätsmodul. αw den Wärmeausdehnungskoeffizienten. m das Verhältnis: Längsdehnung zur Quer-zusammenziehung. εrr, εϕϕ, εzz die Normaldehnungen in Richtung der Nor-malspannungen σrr, σϕϕ, σzz. T g Temperaturgefälle in °G auf 1 cm Für gleichzeitiges Auftreten senkrecht aufeinanderstellender Normalspannungen σrr, σϕϕ, σzz gilt die bekannte Beziehung der Elastizitätslehre: \sigma_{rr}=\frac{m}{m+1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[\varepsilon_{rr}+\frac{e}{m-2}\right] \sigma_{\varphi\varphi}=\frac{m}{m+1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[\varepsilon_{\varphi\varphi}+\frac{e}{m-2}\right] \sigma_{zz}=\frac{m}{m+1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[\varepsilon_{zz}+\frac{e}{m-2}\right] (1) worin e die sog. kubische Dilatation (Volumänderung der Volumeinheit): e = εrr + εϕϕ + εzz I. Dünnwandiger Hohlzylinder unter innerem Ueberdruck p kg/qcm. Eine Achsialkraft sei nicht tätig; dann wird der Zylinder durch den inneren Ueberdruck lediglich erweitert und behält seine zylindrische Form bei. Es treten nur Normalspannungen σϕϕ in der Umfangsrichtung auf; die radial gerichtete Normalspannung verschwindet dagegen; die achsiale Spannung ist gleich o, da ja in der Achsialrichtung keine Kraftwirkungen auftreten. Man betrachtet ein Zylinderstück von 1 cm Länge und denkt sich dieses mit einer Achsialebene aufgeschnitten; dann lautet die Gleichgewichtsbedingung zwischen äußerer Kraft und inneren Kräften an den Schnittflächen 2 × s × 1 qcm, über die man bei der dünnen Wandstärke die Spannungen als gleichmäßig verteilt annehmen kann: 2r . 1 . p = 2s . 1 . σϕϕ \sigma_{\varphi\varphi}=\frac{r}{s}\,.\,p . . . . . . . . . (2) Da keine sonstigen Normalspannungen tätig sind, besteht einfache Proportionalität zwischen Spannung und Dehnung (Schmiedeeisen und Stahl, Gußeisen bei mäßiger Spannung angenähert); es ist also die Umfangsdehnung: \varepsilon_{\varphi\varphi}=\alpha\,.\,\sigma_{\varphi\varphi}=\alpha\,\frac{r}{s}\,.\,p . . . . . . (3) Erweitert sich der Halbmesser r der Mittelfläche bei der Belastung um Δr, so drückt sich die Umfangsdehnung auch wie folgt aus: \varepsilon_{\varphi\varphi}=\frac{\mbox{Zunahme des Umfangs}}{\mbox{ursprünglicher Umfang}}=\frac{2\,\pi\,(r+∆\,r)-2\,\pi\,r}{2\,\pi\,r}=\frac{∆\,r}{r} (4) womit nach (3) die radiale Erweiterung des Hohlzylinders infolge des Ueberdrucks auch ist: \Delta_r=r\,.\,\varepsilon_{\varphi\,\varphi}=\alpha\,.\,\frac{r^2}{s}\,.\,p . . . . (5) Quer zur Umfangsrichtung, also auch in der Achsrichtung kontrahiert sich jedes cm um \varepsilon_{zz}=\frac{\varepsilon_{\varphi\varphi}}{m}=\frac{\alpha}{m}\,.\,\frac{r}{s}\,.\,p also kontrahiert sich ein Zylinderstück von der Länge l um \Delta_z=\varepsilon_{zz}\,.\,l=\frac{\alpha}{m}\,.\,\frac{r\,l}{s}\,.\,p Rotiert der Zylinder, so bildet die Zentrifugalkraft eine gleichmäßige Belastung der Zylinderwand, wenigstens darf man dies im Fall eines dünnwandigen Hohlzylinders annehmen. Die Belastung eines qcm der Mittelfläche durch Zentrifugalkraft ist \frac{\gamma}{100\,g}\,s,.,\frac{v^2}{r} wo g = 9,81 m/sec2, γ kg/cm3 das spezifische Gewicht des Zylindermaterials und v die Umfangsgeschwindigkeit in cm/sec bedeutet. Diese Belastung tritt in den Gl (2)bis(5) an die Stelle von p. II. Dünnwandiger Hohlzylinder unter achsialer Belastung. In diesem Fall haben wir nur Achsialspannungen σzz, die überall gleich groß sind, wenn sich die Achsialkraft Z gleichmäßig über die Endflächen verteilt; es ist \sigma_{zz}=\frac{Z}{2\,r\,\pi\,s} Die Gesamtverlängerung eines Zylinderstücks von der Länge l ist Δz = α . l . σzz . . . . . (6) Die achsiale Dehnung ist εzz = α . σzz, die Umfangsdehnung \varepsilon_{\varphi\varphi}=\frac{-\varepsilon_{zz}}{m}=-\frac{\alpha}{m}\,.\,\sigma_{zz} und da nach Gl. (5) \varepsilon_{\varphi\varphi}=\frac{\Delta_r}{r}, so ist die Verkleinerung Δr des Halbmessers \Delta_r=r\,.\,\varepsilon_{\varphi\varphi}=-\frac{\alpha}{m}\,.\,r\,.\,\sigma_{zz} . . (7) III. Dünnwandiger Hohlzylinder bei gleichmäßiger Erwärmung um ΔTm. Da keine äußeren Kräfte angreifen, erfolgt die Wärmeausdehnung ungehindert; es entstehen keine Temperaturspannungen. Jedes cm, sei es in Richtung r, ϕ oder z gemessen, dehnt sich bei Erwärmung um ΔTm °C aus um: εrT = εϕT = εZT = αw . ΔTm . . . (8) Der Halbmesser der Mittelfläche vergrößert sich um Δr = r . εϕT = αwr . ΔTm . . . . (9) Ein Zylinderstück von der Länge l wächst um Δz = αw . l . ΔTm . . . . . . (10) IV. Dünnwandiger Hohlzylinder an den Enden gleichmäßig durch Biegungsmomente und Schubkräfte belastet. Textabbildung Bd. 324, S. 51 Fig. 3. Der Spannungszustand: Infolge der Biegung entstehen in der Zylinderwand Achsialspannungen σzz und, da bei der Biegung der Zylinder sich erweitert oder verengt, auch Umfangsspannungen σϕϕ hingegen kann man im Falle dünner Wandstärke die radialen Normalspannungen σϕϕ als unerheblich vernachlässigen: σrr = 0. Damit erhält man aus Gleichung (1): \left{{\sigma_{\varphi\varphi}=\frac{m}{m^2-1}\,.\,\frac{1}{\alpha}\,\left(m\,\varepsilon_{\varphi\varphi}+\varepsilon_{zz}\right)}\atop{\sigma_{zz}=\frac{m}{m^2-1}\,.\,\frac{1}{\alpha}\,\left(\varepsilon_{\varphi\varphi}+m\,.\,\varepsilon_{zz}\right)}}\right\}\ .\ .\ .\ (10) Da der Aufgabestellung zufolge keine Achsialkraft vorhanden ist, so läßt sich von den Achsialspannungen σzz noch sagen, daß sie keine Resultierende haben: \int\limits_{\lambda=-\frac{s}{2}}^{\lambda=+\frac{s}{2}}\,\sigma_{zz}\,.\,df=0 . . . . . . (10a) Schiebungen und Schubspannungen treten nur solche auf, durch die ein in der Achsialebene gezeichnetes Quadrat rhombisch verzerrt wird; es ist also (s. Fig. 2): τzr ≷ 0, während τrϕ = τϕz = 0. Man betrachte nunmehr ein Zylinderelement Fig. 3, begrenzt durch 2 im Abstand dz geführte Querschnittsebenen und durch 2 den Winkel dϕ einschließende Achsialebenen; die radiale Stärke dieses Elements ist hiernach = s. An diesem Element wirken die achsialgerichteten Biegungsspannungen σzz und die Umfangsspannungen σϕϕ nach Verteilungsgesetzen, die noch unbekannt und in Fig. 3 willkürlich angenommen sind, welche Annahme jedoch auf die nachfolgenden Gleichgewichtsbedingungen ohne Einfluß ist; ferner sind die Schubspannungen τz zu einer Resultierenden S vereinigt, die auf 1 cm des mittl. Zylinderumfangs 2rπ bezogen gedacht ist (vergl. Fig. 1); auf die Länge rdϕ kommt somit die Schubkraft: S . rdϕ. Der Abstand von der Mittelfläche sei mit ± λ bezeichnet, je nachdem er radial auswärts oder einwärts gemessen wird. Ist die Spannung bezw. Schubkraft in der Ebene z = zσzz bezw. S, so muß sie in der Ebene z + dz um \frac{\delta\,\sigma_{zz}}{\delta,z}\,dz bezw. \frac{\delta\,S}{\delta\,z}\,dz größer sein. Die Umfangspannung σϕϕ ändert sich, da hier achsensymmetrische Deformation betrachtet wird, nicht, wenn man im konstanten Abstand r und um dϕ fortschreitet. Demgemäß sind die Spannungen in (Fig. 3) eingetragen. Die Gleichgewichtsbedingung in Richtungr lautet nach Fig. 3 (S+\frac{\delta\,S}{\delta\,z}\,dz)\,rd\varphi=2\,\int\,\sigma_{\varphi\varphi}\,\frac{d\,\varphi}{2}\,.\,d\lambda\,.\,dz+S,r,d\varphi woraus r\,\frac{\delta\,S}{\delta\,z}=\int\,\sigma_{\varphi\varphi}\,d\lambda . . . . . (11) Sämtliche Integrale sind zwischen \lambda=\pm\,\frac{s}{2} zu nehmen. Die Momentengleichung um die Mittelachse des Elements (Fig. 3) lautet: (S+\frac{\delta\,S}{\delta\,z}\,dz)\,rd\varphi\,\frac{d\,z}{2}+S,rd\varphi\,\frac{d\,z}{2}=\int\,\frac{\delta\,d_{zz}}{\delta\,z}\,.\,dz\,(r+\lambda)\,d\varphi\,d\lambda\,.\,\lambda Nach Vernachlässigung des Glieds von höherer Ordnung der Kleinheit und nach Vereinfachung erhält man S\,.\,r=\int\,\frac{\delta\,d_{zz}}{\delta\,z}\,.\,(r+\lambda)\,\lambda\,d\lambda . . . (12) Setzt man diesen Wert von S in Gleichung (11) ein, so wird \int\,\sigma_{\varphi\varphi}\,d\lambda=\frac{\delta}{\delta,z}\,\int\,\frac{\delta\,d_{zz}}{\delta\,z}\,.\,(r+\lambda)\,\lambda\,d\lambda . . (13) Zur Ermittlung der Schubspannung denken wir uns das Element (Fig. 3) im Abstand λ neben dem schraffierten Band festgehalten und betrachten das überstehende Körperstück zwischen λ = + λ und \lambda=+\frac{s}{2}; man erkennt, daß die Normalspannungen σzz in achsialer Richtung einen Kraftüberschuß liefern, der das überstehende Stück in der Befestigungsfläche df = dz . (r + λ) dϕ abzuschieben sucht; bei der Kleinheit dieser Fläche dürfen die Schubspannungen τrz daselbst als gleichmäßig verteilt angenommen werden. Die Schubkraft ist gleich dem Ueberschuß der Normalspannungen, d.h. \tau_{rz}\,.\,(r+\lambda)\,d\varphi\,.\,dz=\int\limits_\lambda^{+\frac{s}{2}}\,\frac{\delta\,\sigma_{zz}}{\delta\,z}\,dz\,(r+\lambda)\,d\varphi\,d\lambda In dem Klammerausdruck (r + λ) darf, wie später noch deutlicher gezeigt wird, λ gegen r vernachlässigt werden, sofern der Hohlzylinder dünnwandig ist. Dann folgt nach Wegheben von r, dϕ und dz \tau_{rz}=\int\,\frac{\delta\,\sigma_{zz}}{\delta\,z}\,d\lambda . . . . . (14) Der Formänderungszustand: Wir machen die bei geraden Stäben und ebenen Platten bewährte Annahme, daß eine Zylindernormale auch nach Eintritt der Biegung gerade und senkrecht zur elastischen Mittelfläche bleibe. Der Nutzen dieser Annahme besteht darin, daß es genügt, die Deformation der Mittelfläche festzustellen; die Lagenänderung der übrigen Zylinderpunkte ist damit bestimmt. Textabbildung Bd. 324, S. 52 Fig. 4. Wir können nicht voraussetzen, daß die elastische Mittelfläche ungedehnt bleibe. Ein Punkt (r, z) kommt durch die Biegung nach (r + u0, z + w0), wobei u0 die Durchbiegung in (r, z) bedeutet (vergl. Fig. 4). Die Normale im Abstand z ist um ψ, in z + dz um ψ + dψ gegen ihre ursprüngliche Richtung geneigt. Der Winkel zweier im Abstand dz aufeinanderfolgender Normalen oder Tangenten der elastischen Linie ist dψ. Für dψ hat man nach (Fig. 4) unter Beachtung, daß es sich nur um kleine Winkel handeln kann: \mbox{tg}\,phi=\phi=\frac{d\,u_0}{dz} . . . . . (15) folglich \frac{d\,\phi}{dz}=\frac{d^2\,u_0}{dz^2} . . . . . (16) Eine im Abstand + λ von der Mittelfläche befindliche Schicht hatte ursprünglich die Länge dz; infolge der Biegung ist diese Länge (vgl. Fig. 4) um – λdψ geändert. An derselben Stelle hat sich aber auch die Mittelfläche gedehnt und zwar betrage ihre Dehnung pro cm + εzzo; die Mittelschicht dz hat sich also um εzzo dz verlängert. Die gesamte achsiale Dehnung im Abstand + λ ist folglich \varepsilon_{zz}=\frac{\varepsilon_{zz0}\,d\,z-\lambda\,.\,d\,\phi}{d\,z} oder mit (16): \varepsilon_{zz}=\varepsilon{zz0}-\lambda\,.\,\frac{d^2\,u_0}{dz^2} . . . . (17) Die achsiale Verrückung eines Punkts (r, z) der Mittelfläche ist w_0=\int\limits_{z=0}^{z=z}\,\varepsilon_{zz0}\,d\,z . . . . . (18) und eines beliebigen Punkts (r + λ, z) im Abstand λ von der Mittelfläche w=w_0-\lambda\,\phi=\_0^z\,\varepsilon_{zz0}\,d\,z-\lambda\,\frac{d\,u_0}{d\,z} (18a) Der Punkt (r + λ, z) kommt nach (r + λ + u0, z + w0 – λψ), d.h. er rückt radial um u0 nach außen; die Umfangsdehnung in diesem Punkt ist demnach \varepsilon_{\varphi\varphi}=\frac{2\,pi\,(r+\lambda+u_0)-2\,\pi\,(r+\lambda)}{2\,\pi\,(r+\lambda)} . . (19)     =\frac{u_0}{r+\lambda}. oder sofern bei hinreichend kleiner Wandstärke λ gegen r vernachlässigbar ist: \varepsilon_{\varphi\varphi}=\frac{u_0}{r} . . . . . . . . . (19a) Setzt man εϕϕ und εzz aus (19) und (17) in (10) ein, so wird \left{{\sigma_{\varphi\varphi}=\frac{m}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[m\,\frac{u_0}{r\,[+\lambda]}+\varepsilon_{zz0}-\lambda\,\frac{d^2\,u_0}{dz^2}\right]}\atop{\sigma_{zz}=\frac{m^2}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[\frac{u_0}{r\,[+\lambda]}+m\,.\,\varepsilon_{zz0}-m\,\lambda\,\frac{d^2\,u_0}{dz^2}\right]}}\right\}\ (20) Die hierin auftretende Unbekannte εzzo wird aus der Bedingung bestimmt, daß die resultierende Achsialkraft gleich 0 ist, d.h. nach Gl. (10a). In dieser ist df = (r + λ) dϕ, dλ und bei der Integration ist λ als einzige Veränderliche anzusehen Man erhält \varepsilon_{zz0}=-\frac{u_z}{m\,r}+\left[\frac{s^2}{12\,r}\,\frac{d^2\,u_0}{dz^2}\right] . . (21) Wenn die gelegentlich Gl. (19a) angeführte Vernachlässigung von λ gegenüber r statthaft ist, so fallen die in [] eingeschlossenen Größen in den letzten Gleichungen weg. Mit (21) liefert (20) \left{{\sigma_{\varphi\varphi}=\frac{1}{\alpha}\,\left[\frac{u_0}{r}-\frac{m}{m^2-1}\,\lambda\,\frac{d^2\,u_0}{dz^2}\right]}\atop{\sigma_{zz}=-\frac{m^2}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\lambda\,\frac{d^2\,u_0}{dz^2}}}\right\}\ .\ (22) Für die Schubspannung + λ erhält man noch nach Gl. (14) unter Benutzung von (22): \tau_{rz}=\frac{m^2}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\frac{d^3\,u_0}{dz^3}\,\int\limits\,\lambda\,d\,\lambda       =\frac{m^2}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left(\frac{s^2}{8}-\frac{\lambda^2}{2}\right)\,\frac{d^3\,u_0}{dz^3} (23) Beziehung zwischen Formänderung und Spannung. Differentialgleichung der elastischen Mittelfläche. Durch Einsetzen von (22) in (13) erhält man \left\frac{m}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[\lambda\,\frac{m^2-1}{m}\,\frac{u_0}{r}-\frac{\lambda^2}{2}\,\frac{d^2\,u_0}{dz^2}\right]\right|_{+\frac{s}{2}} =\left-\frac{m^2}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\frac{d^4\,u_0}{dz^4}\,\left(\frac{r\,\lambda^3}{3}+\frac{\lambda^4}{4}\right)\right|_{-\frac{s}{2}} Nach Einführung der Grenzen und Vereinfachung erhält man als Gleichung der elastischen Mittelfläche: \frac{d^4,u_0}{dz^4}+12\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{1}{r^2\,s^2}\,u_0=0 . . (24) Setzt man zur Abkürzung: n^4=3\,\frac{m^2-1}{m^2}\ \frac{1}{r^2,s^2} . . . . (25) so läßt sich die Differentialgleichung der elastischen Mittelfläche auch schreiben: \frac{d^4\,u_0}{dz^4}+4\,n^4\,u_0=0 . . . (24a) Ein Integral dieser linearen Differentialgleichung 4. Ordnung ist bekanntlich: u 0 = Ce ρz wobei C eine Integrationskonstante, ρ eine Wurzel der Gleichung ist: ρ4 + 4n4 = 0, d.h. wenn ρ1 = (1 + i) n      ρ3 = – (1 + i) n               ρ2 = (1 – i) n      ρ4 = – (1 – i) n Das vollständige Integral der Differentialgleichung der elastischen Mittelfläche ist also: u_0=C_1\,e^{{\rho_1}^z}+C_2\,e^{{\rho_2}^z}+C_3\,e^{{\rho_3}^z}+C_4\,e^{{\rho_4}^z} (24b) was sich auf die Form bringen läßt: u0= enz (f cos nz + g sin nz) + enz (f1 cos nz + g1 sin nz) (24c) hierin sind. f, g, f1, g1, Integrationskonstante. Wir betrachten von jetzt an ausschließlich einen Zylinder von der Länge 2l, dessen beide Hälften in gleicher Weise deformiert werden, was der Fall ist, wenn die beiden Zylinderenden in gleicher Weise belastet sind. Die Ebene z = 0, der Mittelquerschnitt des Hohlzylinders, ist dabei eine Symmetrieebene der Deformation. Unter dieser besonderen Voraussetzung muß die Durchbiegung der Zylinderwand rechts und links von dem Symmetriequerschnitt gleich groß sein, d.h. es muß u0 für z = + z1 denselben Wert haben, Das kann nur sein, wenn in (24c) f = f1 und g = – g1. Damit erhält man für die Durchbiegung eines beiderseits vom Querschnitt x = 0 symmetrisch deformierten Hohlzylinders: u0 = f (enz + e– nz) cos nz + g (enz – e– nz) sin nz (26) Als Zwischen werte werden folgende Differentiale gebraucht: \frac{d\,u_0}{dz}=n\,[(g-f)\,(e^{nz}+e^{-nz})\,sin\,nz+(g+f)\,(e^{nz}-e^{-nz})\,cos\,nz] \frac{d^2\,u_0}{dz^2}=2\,n^2\,[g\,(e^{nz}+e^{-nz})\,cos\,nz-f\,(e^{nz}-e^{-nz})\,sin\,nz] \frac{d^3\,u_0}{dz^3}=2\,n^3\,[-(g+f)\,(e^{no}+e^{-nz})\,sin\,nz+(g-f)\,(e^{nz}-e^{-nz})\,cos\,nz] (27) Wir nehmen nun an, die Belastung des Zylinders bestehe aus Schubkräften und Biegungsmomenten, die sich über die ringförmigen Endquerschnitte des Hohlzylinders gleichmäßig verteilen, und es bedeute (vergl. Fig. 1): S kg/cm Schub auf 1 cm des Umfanges 2rπ (± wenn in Richtung der ± Schubspannung wirkend. M kg. cm/cm Biegung auf 1 cm des Umfanges 2rπ, (± wenn man, auf der Tangente an den Bogen ϕ stehend und in Richtung der abnehmenden ϕ gegen das Moment blickend, dieses im ± Uhrzeigersinn sich drehen sieht. Wenn M im Abstand z = ± z positiv ist, so heißt dies, daß die in der „Vorderfläche“ bei z = ± l wirkenden Spannungen ein + Moment liefern. Die Schubkraft ist nach (12) mit Einsetzen von (22). S=\frac{1}{r}\,\int\limits\,\frac{\delta\,\sigma_{zz}}{\delta\,z}\,(r+\lambda)\,\lambda\,d\,\lambda=-\frac{m^2}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\frac{s^3}{12}\,\frac{d^3\,u_0}{dz^3} (28) In z = ± l d.h. im Endquerschnitt ist ihre Größe daher S_l=-\frac{m^2}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\frac{s^3}{12}\,\left|\frac{d^3\,u_0}{dz^3}\right|_{z=\,\pm\,l} Erweitert man diese Gleichung mit \frac{1}{2\,n^3} so wird durch Auflösen \frac{1}{2\,n^3}\,\left|\frac{d^3\,u_0}{dz^3}\right|_{z=\,\pm\,l}=-\frac{m^2-1}{m^2}\,\alpha\,\frac{12}{s^3}\,S_l\,\frac{1}{2\,n^3}=-S' (29) wobei zur Abkürzung gesetzt ist S'=\frac{1}{2\,n^3}\,.\,\frac{m^2-1}{m^2}\,.\,\alpha\,\frac{12}{s^3}\,S_l . . . (29a) Für das Biegungsmoment im Abstand z = ± l wird ein analoger Ausdruck angeschrieben. Eine positive Normalspannung σzz, die in der Endfläche („Vorderfläche“) im Abstand + λ von der Mittelfläche wirkt, liefert das Moment σzz df . λ im negativen Uhrzeigersinn wirkend. Um unserer Vereinbarung über das Vorzeichen von M zu genügen, müssen wir setzen M_l=\frac{1}{r}\,\int\,-\sigma_{zz}\,d\,f\,\lambda oder mit (22). M_l=\frac{m^2}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\frac{s^3}{12}\,\left|\frac{d^2\,u_0}{dz^2}\right|_{z=l} und analog wie oben für S \frac{1}{2\,n^2}\,\left|\frac{d^2\,u_0}{dz^2}\right|_{z=l}=\frac{m^2-1}{m^2}\,\alpha\,\frac{12}{s^3}\,M_l\,\frac{1}{2\,n^2}=M' (30) wenn zur Abkürzung gesetzt wird M^i=\frac{1}{2\,n^2}\ \frac{m^2-1}{m^2}\,\alpha\,\frac{12}{s^3}\,M_l . . (30a) Es sollen nunmehr die Integrationskonstanten f und g in (24c) durch M' und S' ausgedrückt werden; aus (29) und (27), bzw. (30) und (27) folgt mit z = l oder z = – l – S' = – (g + f) . (enl + e– nl) sin nl + (g – f) (enl – e– ul) cos nl M' = g) (enl + e– nl) cos nl – f (enl – e– nl) sin nl woraus \left{{g=\frac{M'\,\left(\mbox{cos}\,nl+\frac{e^{nl}+e^{-nl}}{e^{nl}-e^{-nl}}\,\mbox{sin}\,nl\right)+S'\,\mbox{sin}\,nl}{e^{nl}+e^{-nl}+\frac{4\,\mbox{sin}\,nl\,\mbox{cos}\,nl}{e^{nl}-e^{-nl}}}}\atop{f=\frac{-M'\,\left(\mbox{sin}\,nl-\frac{e^{nl}-e^{-nl}}{e^{nl}+e^{-nl}}\,.\,\mbox{cos}\,nl\right)+S'\,\mbox{cos}\,nl}{e^{nl}-e^{-nl}+\frac{4\,\mbox{sin}\,nl\,\mbox{cos}\,nl}{e^{nl}+e^{-nl}}}}}\right\}\ .\ (31) (31) Diese Werte vereinfachen sich bedeutend, wenn die halbe Zylinderlänge l groß ist im Vergleich zum Zylinderhalbmesser r. Ueber den hiezu erforderlichen Wert \frac{r}{l} folgt Angabe weiter unten. Sofern nun l groß und s klein im Vergleich zu r, kann e– nl gegen enl vernachlässigt werden, ebenso der Wert \frac{4\,\mbox{sin}\,nl\,\mbox{cos}\,nl}{e^{nl},\pm,e^{-nl}}, wie man sich leicht klar machen kann. Damit wird, giltig für verhältnismäßig lange Zylinder: \left{{f=\frac{-M'\,(\mbox{sin}\,nl-\mbox{cos}\,nl)+S'\,\mbox{cos}\,nl}{e^{nl}}}\atop{g=\frac{M'\,(\mbox{sin}\,nl+\mbox{cos}\,nl)+S'\,\mbox{sin}\,nl}{e^{nl}}}}\right\}\ (31\mbox{a}) Wir haben hiermit statt der Integrationskonstanten f und g zwei andere Integrationskonstante M' und S' eingeführt; diese hängen durch Gleichung (29a) und (30a) in einfachster Weise mit einem Biegungsmoment und einer Schubkraft zusammen, man kann ihnen also eine leicht anschaulich faßbare Deutung geben. Ueberdies werden diese Biegungsmomente und Schubkräfte an den Zylinderenden ohnehin gebraucht, wenn man etwa die Verbindung des Zylinders mit einem Boden oder Flansch untersuchen will. Immer handelt es sich dabei um die Grenzbedingungen an den Zylinderenden, hauptsächlich um die Durchbiegung und Neigung der elastischen Linie, d.h. des Meridians der Mittelfläche gegenüber dem nicht deformierten Zustand; für die Durchbiegung und Neigung erhalten wir nunmehr ganz einfache Ausdrücke: Die Durchbiegung (u0)l des Zylinderendes z = ± l wird nach (26): (u0)l = f . enl cos nl + g . enl sin nl, woraus durch Einsetzen der Werte von f und g aus (31a) (u0)l = M' + S' . . . . . (32) Die Neigung der Zylinderenden z = ± l gegen die z = Richtung ist nach (27): \left(\frac{d\,u_0}{d\,z}\right)_t=n\,[(g-f)\,e^{nl}\,\mbox{sin}.\,nl+(g+f)\,e^{nl}\,\mbox{cos}\,nl], woraus mit (31a): \left(\frac{d\,u_0}{d\,z}\right)_t=n\,(2\,M'+S') . . . . (33) Die Durchbiegung (u0)0 in der Zylindermitte wird nach (26) mit z = 0, und ferner mit (31a): (u_0)_0=2\,f=2\,\frac{+M'\,(\mbox{cos}\,nl-\mbox{sin}\,nl)+S'\,\mbox{cos}\,nl}{e^{nl}} An derselben Stelle ist die Neigung des Meridians der elastischen Mittelfläche gegen die ursprüngliche Richtung gleich Null, wie ohne weiteres klar, und auch aus (27) mit z = 0 folgt. Zur Berechnung der Biegungs- und Schubspannungen werden noch einige Sonderwerte angeführt, die später gebraucht werden: In z = – l ist nach (27) und (31a), sofern e– nl gegen e+ nl vernachlässigbar ist. \left|\frac{d^2\,u_0}{d\,z^2}\right|_l=2\,n^2\,[ge^{nl}\,\mbox{cos}\,nl-fe^{nl}\,\mbox{sin}^{nl}]=2\,n^2\,M'\,2\,\mbox{sin}\,nl\,\mbox{cos}\,nl In z = 0 ist ebenso: \left|\frac{d^2\,u_0}{d\,z^2}\right|_0=2\,n^2\,.\,2\,g=2\,n^2\,.\,2\,\frac{M'\,(\mbox{sin}\,nl+\mbox{cos}\,nl)+S'\,\mbox{sin}\,nl}{e^{nl}} \left|\frac{d^3\,u_0}{d\,z^3}\right|_0=0. (Fortsetzung folgt.)