Beiträge zur Theorie des Reguliervorganges bei direkt wirkenden Regulatoren. Von Dr.-Ing. J. Magg, Graz. (Fortsetzung von S. 85 d. Bd.) Beiträge zur Theorie des Reguliervorganges bei direkt wirkenden Regulatoren. Erörterung eines speziellen Falles. Es sei uns gegeben eine DampfmaschineBeispiel in der Hauptsache nach Rülf s. o., die bei n = 80 mittlerer Tourenzahl eine maximale Leistung von 700 PS, eine minimale von 0 PS leistet. Der Hub sei 1000 mm, das Trägheitsmoment des Schwungrades J = 2250 kg/m2. Der Hub des Regulators sei H = 100 mm, sein Ungleichförmigkeitsgrad δr = 1/15. Daraus ergeben sich die Werte für unterste und oberste Tourenzahl mit n0 = 82,67, ω0 = 8,65 nn = 77,33, ωn = 8,09. Die Kraft, die den Regulator in seine Gleichgewichtslage pro 1 mm Abweichung daraus zu ziehen trachtet, sei ⅓ kg/mm, so daß also c1 = 333,3 kg/mc1 läßt sich abwägen oder auch, wie folgt, berechnen: Bei einer Verschiebung um das Wegdifferentiale ist die vom Regulator geleistete Arbeit:d A = – P . d (hm– h) = – c1(hm– h) d (hm– h).Setzen wir nun hm = H und lassen den Regulator den ganzen Weg von h = 0 bis h = H durchlaufen, so erhalten wir offenbar die gesamte Arbeit, die der Regulator bei einem Hube leisten kann. Es ist demnach:A=-c_1\,\int\limits_{(H-h)=H}^{(H-h)=o}\,(H-h)\,d\,(H-h)=c_1\,\frac{H^2}{2}.A kann bei bekanntem Regulatorgetriebe leicht aus dem Tolleschen Diagramm entwickelt werden. Es ist also dann darausc_1=\frac{2\,A}{H^2} . . . . . . . . (22); seine Eigenschwingungsdauer betrage ⅔ Sek. Aus Gleichung (16) folgert dann m=\frac{{T_r}^2\,c_1}{4\,\pi^2}=3,75 M.E. Die Maschine sei nun bei N1 = 560 PS im Beharrungszustande, entsprechend h1 = 20 mm, und werde plötzlich auf N1 = 350 PS, entsprechend h1 = 50 mm entlastet. Es ergibt sich dann: \alpha=\frac{c_1}{m}=89\mbox{ Sek.}^{-2} Die „Durchgangszeit“ der Maschine ist, da N = 700 bei n = 80 das Drehmoment Mu = 6270 kg/m entspricht: T_d=\frac{J\,(\omega_o-\omega_n)}{M_n}=0,201\mbox{ Sek}. Daraus ist dann ß = 444 sec–3, ferner w1 = – 4,18 sec–1, p = 2,09 sec–1, q = 10,12 sec–1. Außerdem ist, da x = hl –h1 = 30 mm, C1 = 22,6 mm, C2 = 7,4 mm, C3 = 7,8 mm. Die Bewegungsgleichung für den Regulatorpunkt lautet demnach: x = 22,6 e–4,18 t + e2,09 t(7,4 cos 10,12 t +7,8 sin 10,12 t). Textabbildung Bd. 325, S. 104 Fig. 1. Idealer Fall. Die Konstanten für die Bewegungsgleichung des Motorpunktes ergeben sich mit: \frakfamily{A}_1 = 27,0 mm, \frakfamily{A}_2 = 3,0 mm, \frakfamily{A}_3 = – 3,2 mm, so daß die Bewegungsgleichung für den Motorpunkt lautet: hm = 50 – [27,0 e–4,18 t + e2,09 t (3,0 cos 10,12 t – 3,2 sin 10,12 t)]. Die beiden Kurven sind in Fig. 1 dargestellt, die darunter gezeichnete Kurve ist die der auf den Regulator ausgeübten Stellkräfte, die aus den Kurven der h und hm mit Benutzung von Gleichung (1) erhalten wurden. Für den Fall, daß nur absatzweise Einwirkung des Regulators angenommen werde, ergeben sich die in Fig. 2 gezeichneten Kurven, deren Gleichungen nach der oben angegebenen Methode berechnet, lauten: \left{{\ \ \ \ h=-158\mbox{ sin }9,44\,t+20+149,4\,t}\atop{h_m=20+149,4\,t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\right\}\mbox{ 1. Hub} \left{{\ \ \ h=47,8\mbox{ sin }(7^{\circ},35'+9,44\,t)+76-160\,t}\atop{h_m=76-160\,t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\right\}\mbox{ 2. Hub} \left{{\ \ \ \ \ h=-91,8\mbox{ sin }(15^{\circ},30'+9,44\,t)+16+290\,t}\atop{h_m=16+290\,t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\right\}\mbox{ 3. Hub} Ein Vergleich der Fig. 1 und 2 lehrt, daß trotz des verschiedenen Ansehens der Kurvengleichungen durch die Verschiedenheit der Annahmen das Resultat doch nur unwesentliche Aenderungen erfährt, daß somit die Annahme der kontinuierlichen Regulatoreinwirkung wohl zulässig erscheint. Einfluß einer Beharrungsmasse. Bekanntlich ist es auch möglich, das Regulatorgetriebe derart zu gestalten, daß die bei einer Tourenzahlveränderung der Maschine aus der Trägheit der Schwungmassen herrührende Massenkraft zur Verstellung der Muffe nutzbar gemacht wird, ein Mittel, das besonders bei Flachreglern oft verwendet wird, um die Stellkraft zu vergrößern. Diese Trägheitskraft kann nun der Winkelbeschleunigung der Maschine proportional gesetzt werden, so daß zu der durch Gleichung (1) definierten Stellkraft noch eine andere P_b=c_4\,\frac{d\,\omega}{d\,t} . . . . . (23) hinzukommt. c4 ist aus den Regulatorabmessungen ohne große Mühe zu ermitteln. Gleichung (4) geht nunmehr über in: m\,\frac{d^2\,h}{d\,t^2}=P+P_b=c_1\,(h_m-h)+c_4\,\frac{d\,\omega}{d\,t}. Die nun folgende Ableitung ist der früher gegebenen analog. Da, wie oben gezeigt \frac{d\,\omega}{d\,t}=\frac{c_3}{J}\,(h_l-h), so ist: m\,\frac{d^2\,h}{d\,t^2}=c_1\,h_1+\frac{c_1\,c_3}{c_2\,J}, \int\limits_0^t\,(h_l-h)\,d\,t-c_1\,h+\frac{c_3\,c_4}{J}(h_l-h), oder nach Vornahme einiger Umformungen: \frac{d^3\,h}{d\,t^3}+\frac{d\,h}{d\,t}\,\left(\frac{c_1}{m}+\frac{c_3\,c_4}{J\,m}\right)-\frac{c_1\,c_3}{c_2\,m\,J}\,(h_l-h)=0. Setzen wir nun noch: \frac{c_3\,c_4}{J\,m}=\gamma . . . . . (24) so bekommen wir: \frac{d^3\,x}{d\,t^3}+(\alpha+\gamma)\,\frac{d\,x}{d\,t}+\beta\,x=0 . . . (25) Textabbildung Bd. 325, S. 104 Fig. 2. Periodische Einwirkung des Regulators. Diese Gleichung ist ähnlich Gleichung (8), nur tritt an die Stelle von α jetzt α + γ. Das allgemeine Integral lautet so wie früher, nur bekommen die Exponenten andere Werte. Bildet man aus Gleichung (10) den Wert \frac{\partial\,w_1}{\partial\,\alpha}, so ergibt sich dieser als positiv; da aber w1 immer negativ ist, so heißt das, daß der absolute Wert von w1 bei einer Vergrößerung von α in α + γ abnimmt, desgl. der Wert von p. Da dieser aber nach dem Obigen für die Labilität des Beharrungszustandes bestimmend ist, ergibt sich daraus die Folgerung, daß die Beharrungsmasse die Neigung zum Ueberregulieren vermindert, ohne sie jedoch durch ihre Wirkung vollständig vernichten zu können.Dies ergibt sich aus Gleichung (10), da p = 0 erst für den Fall von α = ∞ eintritt. Jedenfalls braucht bei Anwendung einer Beharrungsmasse die zur Erzielung einer labilen Regulierung notwendige „Dämpfung“ – die klein zu halten aber jedenfalls erwünscht ist – nicht so groß zu sein als ohne Verwendung einer Beharrungsmasse. Der Verlauf des Regulierungsvorganges wird also durch ihren Einfluß verbessert. Einfluß der Unempfindlichkeit. Die Berücksichtigung des Einflusses der Unempfindlichkeit gestaltet sich wesentlich schwieriger. Da die Reibung sich immer der einzuleitenden oder bereits eingeleiteten Bewegung widersetzt, wechselt sie bei jeder Bewegungsumkehr plötzlich ihr Vorzeichen. Diese Gesetzmäßigkeit analytisch auszudrücken, ist aber in einfacher Form nicht möglich. Außerdem besteht aber auch ein Zusammenhang zwischen der Reibung zwischen zwei Flächen und deren relativer Geschwindigkeit. Für die bei der Bewegung des Regulators auftretenden Geschwindigkeiten kann nun die Reibung allerdings mit guter Annäherung als konstant angenommen werden. Dagegen darf der Unterschied zwischen der Reibung der Ruhe und jener der Bewegung nicht vernachlässigt werden. Wir wollen daher, um im Rahmen einer einfachen Untersuchung der Wirklichkeit doch möglichst nahe zu kommen, annehmen, die Reibung der Ruhe sei, an die Muffe reduziert, durch eine Kraft R zu ersetzen; beim Uebergang von Ruhe in Bewegung sinke der Wert von R plötzlich auf R1, welcher Wert dann als während der ganzen Bewegung konstant vorausgesetzt werde. Unter diesen Annahmen läßt sich der Verlauf des Reguliervorganges, der sich nunmehr natürlich immer nur von einem Kurvenmaximum zum nächsten durch eine Gleichung darstellen läßt, folgendermaßen berechnen: Wir setzen zuvörderst in Analogie mit Gleichung (1) \left{{R=c_1\,r}\atop{R_1=c_1\,p}}\right\}\ .\ .\ .\ (26) wobei dann r und ρ Strecken darstellen, r läßt sich als die Strecke deuten, um welche sich der Motor bereits vom Regulatorpunkt entfernt haben muß, damit eine Bewegung unter Ueberwindung der Reibung der Ruhe eintreten kann, ρ ist dann offenbar die Strecke, um die sich der Motorpunkt vom Regulatorpunkt weiter entfernt haben müßte, um beim Regulator mit Reibung dieselbe Stellkraft auszuüben, wie beim reibungslosen. r und ρ lassen sich aus dem Unempfindlichkeitsgrade leicht berechnen, der mit εr (für den Fall der Ruhe) bezeichnet werde. εr kann entweder versuchsmäßig festgestellt oder in bekannter Weise aus den Regulatordaten berechnet werden.s.u.a. Hermann: Die graphische Untersuchung der Zentrifugalregulatoren, Berlin 1886. Bartl: Die Berechnung der Zentrifugalregulatoren, Leipzig 1900. Tolle: Die Regelung der Kraftmaschinen, Berlin 1905. Es ist dann \epsilon_r=\frac{2\,\delta\,\omega}{\omega}, wobei δ ω die Abweichung von der Tourenzahl, die der Regulatorstellung entspricht, darstellt, um, entgegengesetzt der Reibung, eine Bewegung des Regulators zu bewirken. Diesem δ ω muß aber nach dem Obigen eine Verschiebung des Motorpunktes um r entsprechen, so daß wir unter Benutzung von Gleichung (2) δ ω = c 2 r setzen können. Wenden wir Gleichung (2) auf den ganzen Hub des Regulators an, so bekommen wir ω0 = ωu + c2 H und daraus c_2=\frac{\omega_o-\omega_u}{H}. Es ist nun: \epsilon_r=\frac{2\,\delta\,\omega}{\omega}=\frac{2\,c_2\,r}{\omega}=\frac{2\,r}{H}\,\frac{\omega_o-\omega_u}{\omega}=\frac{2\,r}{H}\,.\,\delta_r, da \frac{\omega_o-\omega}{\omega} der Ungleichförmigkeitsgrad δr des Reglers ist. Daraus ist nun: \mbox{und analog}\left{{r=\frac{H}{2}\,.\,\frac{\epsilon_r}{\delta_r}}\atop{\rho=\frac{H}{h}\,.\,\frac{\epsilon_\rho}{\delta_r}}}\right\}\ .\ .\ .\ .\ (27) Um den Vorgang zu verfolgen, nehmen wir nun wieder an, die Maschine sei in h1 im Beharrungszustand und werde auf hl entlastet. Nun beginnt aber der Regulator nicht sogleich mit seiner Bewegung, sondern verharrt so lange in Ruhe, bis sich der Motorpunkt um r vom Regulatorpunkt entfernt hat. Die hierzu nötige Zeit, sie sei mit τ bezeichnet, ergibt sich aus folgender Ueberlegung: Der zur Einleitung einer Regulatorbewegung notwendige Geschwindigkeitszuwachs war \delta\,\omega=c_2\,r=\int\limits_o^\tau\,d\,\omega. Nun ist aber nach dem Vorigen die Winkelbeschleunigung der Maschine \frac{d\,\omega}{d\,t}=\frac{M_b}{J}=\frac{c_3\,(h_l-h)}{J}, wofür jetzt, da h = h1 ist, gesetzt werden kann: \frac{d\,\omega}{d\,t}=\frac{c_3\,(h_l-h_1)}{J}=\frac{c_3\,x_1}{J}, oder d\,\omega=\frac{c_3}{J}\,.\,x_1\,d\,t \delta\,\omega=c_2\,r=\int\limits_0^\tau\,\frac{c_3}{J}\,.\,x_1\,d\,t=\frac{c_3\,x_1\,\tau}{J}, woraus \tau=\frac{c_2\,J}{c_3}\,.\,\frac{r}{x_1}, wofür aber nach Gleichung (17) zu setzen ist \tau=T_d\,\frac{r}{x_1} . . . . . . (28) Da von t = 0 bis t = τ das \frac{d\,\omega}{d\,t} konstant ist, ist es nach Gleichung (2) auch \frac{d\,h_m}{d\,t}; d.h. das Diagramm der hm vom Anfangspunkt bis t = τ ist eine Gerade. In dem Momente, wo sich der Motor- vom Regulatorpunkt um r entfernt hat, beginnt die Bewegung. Es ist nun leicht einzusehen, daß sich an der für den idealen Fall gegebenen Ableitung nichts ändert, da zu der auf den Regulator einwirkenden Kraft P [s. Gleichung (4)] nur das Glied – R1 hinzutritt, eine konstante Größe, die bei der nachfolgenden Differentation hinausfällt. Die Konstanten α, β, w1, p und q ändern sich daher ebenfalls nicht, so daß wir in Analogie mit Gleichung (9) schreiben können x=G_1\,e^{w_1\,t}+e^{p\,t}\,(G_2\mbox{ cos }q\,t+G_3\mbox{ sin }q\,t) . (29) Dagegen ändern sich unsere aus den Anfangsbedingungen zu ermittelnden Integrationskonstanten, da nunmehr bei t = 0, womit wir die Zeit in dem Moment, wo sich der Regulator zu bewegen anfängt, neu zu zählen beginnen, wie früher x = x1 und \frac{d\,x}{d\,t}=0, nicht mehr dagegen \frac{d^2\,x}{d\,t^2}=0 ist. Indem nämlich in dem Moment, wo sich der Regulator zu bewegen anfängt, die Reibung von R auf R1 sinkt, der Motorpunkt aber schon um r vom Regulatorpunkt entfernt ist, tritt plötzlich eine beschleunigende Kraft R – R1 auf; es findet ein „Stoß ohne Geschwindigkeit“ statt. Wir haben also als Beschleunigung für t = 0 \frac{d^2\,x}{d\,t^2}=-\frac{R-R_1}{m}=-\frac{c_1}{m}\,(r-\rho)=b_1 (30) Das negative Vorzeichen rührt daher, daß b1 das x zu verkleinern trachtet. Bilden wir nun aus Gleichung (29) die Werte für \frac{d\,x}{d\,t} und \frac{d^2\,x}{d\,t^2} und wenden sie auf den Anfangszustand an, so bekommen wir drei Gleichungen, aus denen sich wie früher die Integrationskonstanten berechnen lassen. Es ist nunmehr: G_1=\frac{(p^2+q^2)\,x_1+b_1}{9\,p^2+q^2} G_2=\frac{8\,p^2x_1-b_1}{9\,p^2+q^2} G_3=\frac{(2\,q^2-6\,p^2+)\,x_1+3\,b_1}{9\,p^2+q^2}\,.\,\frac{p}{q} (31) Dadurch ist der erste Kurvenast bestimmt. Die Kurve erreiche ihr Maximum, bei dem die Reibung ihr Vorzeichen umkehrt, bei x = x2. Da die Kurve der x durch eine transzendente Gleichung dargestellt wird, entzieht sich der Wert ihres Maximums allgemein der Darstellung in geschlossener Form, In allgemeiner Behandlung kann daher der weitere Rechnungsgang nur seinem Wesen nach erläutert werden. Um die Gleichung der Bewegung des Motorpunktes zu erhalten, stellen wir folgende Ueberlegung an: Die Kraft, die den Regulatorpunkt zum Motorpunkt hinzieht, hat jetzt nicht nur die Masse zu beschleunigen, sondern auch die Reibung – und zwar das R1 – zu überwinden, so daß wir anschreiben können: c_1\,(h_m-h)=m\,\frac{d^2\,h}{d\,t^2}+c_1\,p_1, oder c_1\,(h_m-h-p)=m\,\frac{d^2\,h}{d\,t^2}. Daraus ist unter Benutzung der früher eingeführten Bezeichnungen: h_m=\rho+h_l-x-\frac{l}{\alpha}\,\frac{d^2\,x}{d\,t^2}. Dieser Ausdruck ist ähnlich dem, den wir schon früher [s. Gleichung (13)] erhalten hatten, nur tritt an die Stelle von hl nunmehr hl + ρ. Die Integrationskonstanten erhalten wir aus Gleichung (15), wenn wir nunmehr statt C1, C2 und C3 die Größen G1, G2 und G3 darein einsetzen. Wir bekommen als Gleichung für hm: k_m=h_l+p-[\frakfamily{B}_1\,e^{w_1\,t}+e^{p\,t},(\frakfamily{B}_2\mbox{ cos }q\,t+\frakfamily{B}_3\mbox{ sin }q\,t)] 32) Der Wert von Am zur Zeit, wo die Kurve des Regulatorpunktes ihr Maximum hat, sei hm2. Ist nun |hm2 – h1| > |ρ|, so geht die Bewegung gleich weiter, sonst bleibt der Regulatorpunkt so lange in Ruhe, bis der Motorpunkt sich wieder um r von ihm entfernt hat. Geht die Bewegung gleich weiter, so tritt eine Anfangsbeschleunigung auf, die aus folgender Ueberlegung ermittelt werden kann. Es ist bei Beginn des neuen Kurvenastes analog wie früher: c_1,(h_{m2}-h_2)=c_1\,\rho+m\,\left(\frac{d^2\,h}{d\,t^2}\right)_{t=0}=c_1\,\rho-m\,\left(\frac{d^2\,x}{d\,t^2}\right)_{t=0}c_1\,\rho-m\,b_2, oder mit Benutzung der früher aufgestellten Gleichungen: b2 = α (hl + ρ – hm2 – x2). Die Konstanten für den neuen Kurvenast erhalten wir, wenn wir statt x1 und b1 nunmehr x2 und b2 in Gleichung (31) einsetzen. Textabbildung Bd. 325, S. 106 Fig. 3. Einfluß der Unempfindlichkeit. Dieser Kurvenast habe sein Maximum in h3, entsprechend hm3. Analog zu oben ergeben sich dann die Anfangsbeschleunigung b3 für diesen Ast, die Konstanten usw. Zu beachten ist nur, daß das ρ sein Vorzeichen wechselt, je nachdem es sich um einen an- oder absteigenden Kurvenast handelt. Als einfache Regel kann gelten, daß das Vorzeichen von p immer so zu wählen ist, daß hierdurch der Wert der Anfangsbeschleunigung verkleinert wird. Ergibt sich nun bei einem Maximum der Regulatorkurve die Differenz der Höhen von Regulator- und Motorpunkt kleiner als r, so bleibt der Regulatorpunkt so lange in Ruhe, bis sich der Motorpunkt wieder um r von ihm entfernt hat. Die dazu nötige Zeit ergibt sich in Analogie zu Gleichung (28) mit \tau=T_d\,\frac{r-(h_{mn}-h_n)}{x_n}. Beim Uebergang in die Bewegung tritt dann wieder die Anfangsbeschleunigung auf, die durch Gleichung 30 gegeben ist, wobei jedoch zu beachten ist, daß man den Wert des Vorzeichens von r – ρ so zu nehmen hat, daß die Anfangsbeschleunigung den absoluten Wert von x zu vergrößern trachtet. Wir können uns nunmehr der Behandlung des speziellen Beispiels zuwenden. Wir nehmen an, der Unempfindlichkeitsgrad (der Ruhe) betrage εr = 1/40. Der Reibungskoeffizient der Bewegung betrage nur ⅔ von dem der Ruhe. Es ist dies eine Annahme, die mit den tatsächlichen Verhältnissen angenähert übereinstimmen dürfte. Leider fehlen mir genaue Daten, doch dürfte die Annäherung mit Rücksicht darauf ausreichen, daß der Unterscheidung zwischen der Reibung der Ruhe und der Bewegung ohnehin nur der Wert einer Korrektion zukommt, demnach eine kleine Ungenauigkeit in den Annahmen als klein von zweiter Ordnung nur mehr sehr wenig ausmacht. Aus Gleichung (27) ergeben sich nun r=\frac{100}{2}\,.\,\frac{15}{40}=18,75\mbox{ mm} und ρ = ⅔ . r = 12,5 mm. Diesen Werten entsprechen mit c1 = ⅓ kg/mm Größen der Reibung (an die Muffe reduziert) von R= 6,25 kg und R1 = 4,17 kg. Ferner ist nach Gleichung (28) τ = 0,126 sec. Die in Fig. 3 gezeichnete Kurve ist nach den obigen Regeln berechnet; die Gleichungen der einzelnen Kurvenäste lauten wie folgt: Erster Ast: x = x1 = konstant = 30 mm, hm wächst in der Zeit τ = 0,126 sec auf 20 + 18,75 = 38,75 sec. Zweiter Ast: Anfangsbeschleunigung = – 557 mm/sec2 x = 18,7 e–4,18 t + e2,09 t(11,3 cos 10,12 t + 5,38 sin 10,12 t) hm= 62,5 – [22,35 e–4,18 t + e2,09 t (1,4 cos 10,12 t – 5,94 sin 10,12 t)]. Kurvenmaximum bei x = – 23,4 mm, hm = 52,4 mm. Dritter Ast: Anfangsbeschleunigung = + 7 56 mm/sec2 x = – 12,3 e–4,18 t + e2,09 t(– 11,1 cos 10,12 t – 2,79 sin 10,12 t) hm = 37,5 – [– 14,7 e–4,18t t + e2,09 t (– 0,2 cos 10,12 t + 5,57 sin 10,12 t)]. Kurvenmaximum bei x = 22,0 mm, hm = 48,0 mm. Vierter Ast: Anfangsbeschleunigung = – 668 mm/sec2 x = 11,88 e–4,18 t + e2,09 t (10,12 cos 10,12 t + 2,82 sin 10,12 t) hm = 62,5 – [14,2 e–4,18 t + e2,09 t (0,3 cos 10,12 t – 5,12 sin 10,12 t)]. Kurvenmaximum bei x = – 19,4 mm, hm = 54,3 mm. Fünfter Ast: Nunmehr ist die Differenz zwischen hm und h zu Hubbeginn nurmehr gleich – 15,1 mm, dem absoluten Werte nach also kleiner als r. Der Regulatorpunkt bleibt so lange in Ruhe, bis der Abstand des Motorpunktes von ihm wieder gleich r geworden ist. Die dazu nötige Zeit ergibt sich mit τ5 = 0,04 sec. Sechster Ast: Anfangsbeschleunigung =557 mm/sec2 x = – 10,67 e–4,18 t+ e2,09 t (– 8,73 cos 10,12 t – 2,62 sin 10,12 t) hm= 37,5 – [– 12,75 e–4,18 t + e2,09 t (– 0,4 cos 10,12 t + 4,42 sin 10,12 t)] Kurvenmaximum bei x = 16,8 mm, hm= 45,4 mm. Siebenter Ast: Der Regulator bleibt durch τ7 = 0,083 sec in Ruhe. Achter Ast: Anfangsbeschleunigung = – 557 mm/sec2 x = 8,75 e–4,18 t + e2,09 t (8,05 cos 10,12 t + 1,94 sin 10,12 t) hm=62,5 – [10,46 e–4,18 t + e2,09 t (0,09 cos 10,12 t – 4,04 sin 10,12 t)]. Kurvenmaximum bei x = – 13,55 mm, hm = 59,0 mm. Neunter Ast: Der Regulator verharrt wieder in Ruhe, und zwar durch τ9 = 0,218 sec. Zehnter Ast: Anfangsbeschleunigung = 557 mm/sec2 x = – 6,15 e–4,18 t + e2,09 t (– 7,2 cos 10,12 t – 0,9 sin 10,12 t) hm= 37,5 – [– 7,4 e–4,18 t + e2,09 t (0,3 cos 10,12 t + 3,53 sin 10,12 t)]. Kurvenmaximum bei x = 13,1 mm, hm = 42,6 mm. (Fortsetzung folgt.)