Gleisbogen mit unendlich großem Krümmungshalbmesser in den Bogenanfängen. (Die Sinuslinie als Uebergangsbogen.) Von Ingenieur Robert Edler, k. k. Professor, Wien. (Fortsetzung von S. 605 d. Bd.) Gleisbogen mit unendlich großem Krümmungshalbmesser in den Bogenanfängen. Es ist nun von großem Interesse, zu untersuchen, nach welchem Gesetze die Schienenüberhöhung vom Bogenanfang A bis zum Scheitel anwächst. Wir formen zu diesem Zwecke den Ausdruck K in Gleichung 46 in folgender Weise um: K=\frac{\mbox{sin}\,\alpha}{\left(1+\frac{\mbox{cos}^2\,\alpha}{\mbox{tang}^2\,\varphi}\right)^{3/2}}=\frac{\mbox{sin}\,\alpha\,.\,\mbox{tang}^3\,\varphi}{(\mbox{tang}^2\,\varphi+1-\mbox{sin}^2\,\alpha)^{3/2}} K=\frac{A\,.\,\mbox{sin}\,\alpha}{(B-\mbox{sin}^2\,\alpha)^{3/2}} . . . . . . 47) Dabei sind die Werte: \left{{A=\mbox{tang}^3\,\varphi\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\atop{B=\mbox{tang}^2\,\varphi+1=\frac{1}{cos^2\,\varphi}}}\right\}\ .\ .\ .\ .\ 48) von α unabhängig und daher als konstant anzusehen, da sie nur von φ abhängen und daher für eine bestimmte Lage der beiden geraden Gleisstrecken gg (vergl. Fig. 9) unveränderlich sind. Für α = 0 wird auch K = 0, daher wird nach Gleichung 46 auch HM = 0 (Bogenanfang A in Fig. 9). Für α = π/2 (Scheitel E in Fig. 9) wird sin α = 1 und daher K=\frac{A}{(B-1)^{3/2}}=\frac{\mbox{tang}^3\,\varphi}{(\mbox{tang}^2\,\varphi)^{3/2}}=1, somit ist hier HM = HE , wie es ja selbstverständlich ist. Um das Gesetz zu ermitteln, nach welchem die Ueberhöhungsrampe ansteigt, bestimmen wir die Neigung der Kurve Gleichung 47 an beliebiger Stelle, indem wir den ersten Differentialquotienten dK/dα berechnen, und erhalten mit der Substitution: \left{{u=A\,.\,\mbox{sin}\,\alpha}\atop{v=(B-sin^2\,\alpha)^{3/2}}}\right\}\ .\ .\ .\ .\ 49) nach der allgemeinen Differenzialformel d\,\frac{u}{v}=\frac{v\,.\,d\,u-u\,.\,d\,v}{v^2} . . . . . 50) zunächst die Werte: du = A – cos α ∙ d α d\,v=\frac{3}{2}\,.\,(B-sin^2\,\alpha)^{1/2}\,.\,(-2\,.\,\mbox{sin}\,\alpha\,.\,\mbox{cos}\,\alpha)\,.\,d\,\alpha=-3\,.\,\mbox{sin}\,\alpha\,.\,\mbox{cos}\,\alpha\,(B-\mbox{sin}^2\,\alpha)^{1/2}\,.\,d\,\alpha und daher: \frac{d\,K}{d\,alpha}=\frac{d\,\frac{A\,.\,\mbox{sin}\,\alpha}{(B-\mbox{sin}^2\,\alpha)^{3/2}}}{d\,\alpha}=\frac{(B-\mbox{sin}^2\,\alpha)^{3/2}\,.\,a\,.\,\mbox{cos}\,\alpha+A\,.\,\mbox{sin}\,\alpha\,.\,3\,.\,\mbox{sin}\,\alpha\,.\,\mbox{cos}\,\alpha\,.\,(B-\mbox{sin}^2\,\alpha)^{1/2}}{(B-sin^2\,\alpha)^3} \frac{d\,K}{d\,\alpha}=A\,.\,\frac{((B-sin^2\,\alpha)+3\,.\,\mbox{sin}^2\,\alpha)}{(B-\mbox{sin}^2\,\alpha)^{5/2}}\,.\,\mbox{cos}\,\alpha=A\,.\,\mbox{cos}\,\alpha\,.\,\frac{B+2\,.\,\mbox{sin}^2\,\alpha}{(B-\mbox{sin}^2\,\alpha)^{5/2}} . . . 51) Wenn man den Wert K (Gleichung 47) auf seine Extreme (Maximum und Minimum) untersuchen will, so hat man den ersten Differenzialquotienten dK/dα = 0 zu setzen, daraus a zu bestimmen und sodann zu untersuchen, ob der zweite Differenzialquotient für diesen Wert von α negativ oder positiv wird; im ersteren Falle ist ein Maximum vorhanden, im zweiten Falle ein Minimum. Nach Gleichung 51 ist die Bedingung dK/dα = 0 erfüllt, wenn: a) cos α = 0 . . α1 = π/2 .. (α01 = 90°) 52) b) B + 2 ∙ sin2 α = 0 \mbox{sin}^2\,\alpha=-\frac{B}{2}=-\frac{1}{2\,.\,\mbox{cos}^2\,\varphi} \mbox{sin}\,\alpha_2=\frac{1}{\mbox{cos}\,\varphi\,.\,\sqrt2}\,.\,\sqrt{-1} imaginär! c) (B – sin2 α)5/2 = ∾ B – sin2 α = ∾       sin2 α = – ∾ + B = – ∾       sin α3 = ∾ – √–1 .... imaginär! Die Funktion K hat also nur ein einziges reelles Extrem für α1 = π/2. Der zweite Differenzialquotient lautet: \frac{d^2\,K}{d\,\alpha^2}=\frac{A}{(B-\mbox{sin}^2\,\alpha)^5}\,.\,\{(B-\mbox{sin}^2\,\alpha)^{5/2}}\,.\,[-B\,.\,\mbox{sin}\,\alpha+2\,.\,(2\,.\,\mbox{sin}\,\alpha\,.\,\mbox{cos}^2\,\alpha-\mbox{sin}^3\,\alpha)]-(B\,.\,\mbox{cos}\,\alpha+2\,.\,\mbox{sin}^2\,\alpha\,.\,\mbox{cos}\,\alpha)\,.\,5/2\,.\,(B-\mbox{sin}^2\,\alpha)^{3/2}\,.\,(-2\,.\,\mbox{sin}\,\alpha\,.\,\mbox{cos}\,\alpha)\}=\frac{A}{(B-sin^2\,\alpha)^{7/2}}\,\{(B-\mbox{sin}^2\,\alpha)\,.\,\mbox{sin}\,\alpha\,.\,(4\,.\,\mbox{cos}^2\,\alpha-2\,.\,\mbox{sin}^2\,\alpha-B)+5\,.\,\mbox{sin}\,\alpha\,.\,\mbox{cos}^2\,\alpha\,.\,(B+2\,.\,\mbox{sin}^2\,\alpha)\}. Nach einigen Reduktionen erhält man mit Berücksichtigung der Beziehung cos2 α – 1 – sin2 α den Wert: \frac{d^2\,K}{a\,\alpha^2}=\frac{A\,.\,\mbox{sin}\,\alpha}{(B-sin^2\,\alpha)^{7/2}}\,.\,(9\,.\,B-B^2-10\,.\,B\,.\,\mbox{sin}^2\,\alpha+6\,.\,\mbox{sin}^2\,\alpha-4\,.\,\mbox{sin}^4\,\alpha) . . . 53) Setzt man hier α1 = π/2, also sin α1 = + 1 ein, so wird: \frac{d^2\,K}{a\,{\alpha_1}^2}=\frac{A\,.\,1}{(B-1)^{7/2}}\,.\,(9\,.\,B-B^2-10\,.\,B\,.\,1+6\,.\,1-4\,.\,1)=\frac{A\,.\,(2-B-B^2)}{(B-1)^{7/2}}. Da wegen Gleichung 48 die Werte A = tang3 φ und (B – 1)7/2 = (tang2 φ)7/2 = tang7 φ für jedes 0 < φ < π/2 positiv sein müssen, so hängt das Vorzeichen nur noch von (2 – B – B2) ab; es ist aber: 2-B-B^2=2-\frac{1}{\mbox{cos}^2\,\varphi}-\frac{1}{\mbox{cos}^4\,\varphi}; da nun für die angegebenen Grenzen von φ stets 0 < cos φ < (+ 1) ist, so wird 2-\left(-\frac{1}{\mbox{cos}^2\,\varphi}+\frac{1}{cos^4\,\varphi}\right) sicher negativ, d.h. K erreicht für α1 = π/2 ein Maximum; dasselbe hat den Wert: K_{max}=\frac{A\,.\,\mbox{sin}\,\alpha_1}{(B-\mbox{sin}^2\,\alpha_1)^{3/2}}=\frac{A\,.\,1}{(B-1)^{3/2}}=\frac{\mbox{tang}^3\,\varphi}{(\mbox{tang}^2\,\varphi)^{3/2}}=1, d.h. es wird Hmax = HE. Die Ueberhöhungsrampe hat daher im Punkte E einen natürlichen Scheitel mit wagerechter Tangente, d.h. die Ueberhöhungsrampe führt das Rad in der Nähe der stärksten Gleiskrümmung stetig hinauf und wieder hinab, ohne daß im Längenprofil an dieser Stelle ein Knick zu bemerken wäre (vergl. Fig. 13). Textabbildung Bd. 325, S. 617 Fig. 13. Längenprofil (bezogen auf AD1B) Von besonderer Wichtigkeit sind noch die Neigungsverhältnisse der Ueberhöhungsrampe im Bogenanfangspunkte A (α = 0), sowie die Konstatierung, ob die Kurve für K = f(α) innerhalb der Grenzen α = 0 und α =π/2 einen Wendepunkt hat oder nicht. Das Vorhandensein eines Wendepunktes hätte natürlich den Vorteil, daß sich die Ueberhöhungsrampe im Bogenanfang A flacher an die Wagerechte anschließt, als in dem Falle, daß kein Wendepunkt vorhanden wäre und die Ueberhöhungsrampe durchwegs nach unten konkav gekrümmt erschiene. Ein theoretisch vollkommen richtiger Anschluß der Ueberhöhungsrampe im Bogenanfang ist bei alleiniger Ausnutzung der natürlichen Eigenschaften der Rampenkurve Hm = K ∙ HE (Gleichung 46 und 47) ausgeschlossen, da die Ueberhöhungsrampe innerhalb der Grenzen α = 0 und π/2 keine reelle wagerechte Tangente besitzt, sondern nur für α = π/2, wie oben nachgewiesen wurde. Für den Bogenanfangspunkt A (α = 0) erhält man nun aus Gleichung 51: \frac{d\,K}{d\,\alpha}\left|_{\mbox{für }\alpha=0}=A\,.\,\mbox{cos}\,0\,.\,\frac{B+2}\,\mbox{sin}^2\,0}{(B-\mbox{sin}^2\,0)^{5/2}}=\frac{A\,.\,B}{B^{5/2}}=\frac{A}{B^{3/2}} also wegen: A=\mbox{tang}^3\,\varphi und B=\frac{1}{\mbox{cos}^2\,\varphi} \frac{d\,K}{d\,\alpha}\left|_{\mbox{für }\alpha=0}=\mbox{tang}^3\,\varphi\,.\,(\mbox{cos}^2\,\varphi)^{3/2}=\mbox{tang}^3\,\varphi\,.\,\mbox{cos}^3\,\varphi=\mbox{sin}^3\,\varphi 54) In der Fig. 13 ist die Ueberhöhungsrampe für φ = 45 ° dargestellt, wobei im Interesse größerer Deutlichkeit eine vielfache Vergrößerung des Ordinatenmaßstabes (K = 0 bis 1, entsprechend dem Bogenanfang A und dem Scheitel E) gewählt wurde. Wenn man in dieser graphischen Darstellung (Längenprofil der Ueberhöhungsrampe) die Tangente für α = 0 (Gleichung 54) aufzeichnen will, so muß man auf die Maßstäbe der Abszissen a und Ordinaten K besonders achten. Der Bogen α = π/2 (zu α° = 90° gehörig) stellt in Längeneinheiten die Strecke π/2 = 1,5708 dar; infolgedessen liegt der Punkt 1 (eine Längeneinheit) auf der Abszissenachse bei dem Winkel 57° 17' 44,8''. Errichtet man dort eine Ordinate, auf der man den Wert sin3 φ (Gleichung 54) – ausgedrückt im Ordinatenmaßstabe – aufträgt, dann kann man durch den so bestimmten Punkt 2 und durch den Ursprung eine Gerade legen, welche die Tangente an die Ueberhöhungsrampe im Ursprünge darstellt. So wird z.B. (vergl. Fig. 13) für φ = 45 ° der Wert \mbox{sin}\,\varphi=\frac{1}{\sqrt2} und \mbox{sin}^3\,\varphi=\frac{1}{2\,.\,\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}=0,3535534, gemessen in Längeneinheiten des Ordinatenmaßstabes. Es wurde schon oben erwähnt, daß es vorteilhaft ist, wenn die Ueberhöhungsrampe im Längenprofil einen Wendepunkt besitzt; wie man nun aus der Fig. 13 erkennt, ist tatsächlich ein Wendepunkt vorhanden, und man hat jetzt nur noch zu bestimmen, an welcher Stelle der Ueberhöhungsrampe derselbe liegt. Diese Aufgabe kann leicht gelöst werden, wenn man den 2. Differentialquotienten \frac{d^2\,K}{d\,\alpha^2} . . . (Gleichung 53) gleich Null setzt, denn dies ist die Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes. Man erhält also aus Gleichung 53 für \frac{d^2\,K}{d\,\alpha^2}=0: 1. A ∙ sin α = 0 . . . sin α = 0 . . . α = 0 2. (B – sin2 α)7/2 = ∾ . . . B – sin2 α = ∾ . . .     sin2 α = – ∾ α = imaginär; 3. 9 ∙ B – B2 – (10 ∙ B + 6) ∙ sin2 α – 4 ∙ sin4 α = 0. Der Punkt α = 0 (1. Fall) bietet kein Interesse für die vorliegende Berechnung, der 2. Fall (α = imaginär) liegt außerhalb des reellen Zahlensystems, so daß nur der 3. Fall praktische Bedeutung haben kann. Man findet leicht: \mbox{sin}^4\,\alpha+\frac{5\,.\,B-3}{2}\,.\,\mbox{sin}^2\,\alpha+\frac{B^2-9\,.\,B}{4}=0 \mbox{sin}^4\,\alpha=\frac{3-5\,.\,B}{4}\,\pm\,\frac{\sqrt{21\,.\,B^2+6\,.\,B+9}}{4} 55) Hier führt nur das + -Zeichen zu einem reellen Wert, weil sin2 α > 0 sein muß. Man erhält daher zur Berechnung der Abszisse des Wendepunktes (vergl. Fig. 13): \mbox{sin}\,\alpha_w=\pm\,1/2\,.\,\sqrt{(3-5\,.\,B)+\sqrt{21\,.\,B^2+6\,.\,B+9}} 56) Auch in dieser Gleichung ist im vorliegenden Falle nur das +-Zeichen von Bedeutung, weil α° zwischen 0° und 90° liegen muß. Für B hat man dabei den Wert B=\frac{1}{\mbox{cos}^2\,\varphi}\,(=\mbox{tang}^2\,\varphi+1) . . 48) zu benutzen. So wird z.B. für φ = 45°: \mbox{cos}\,\varphi=\frac{1}{\sqrt2} tang φ = 1 B = 2 und daher: \mbox{sin}\,\alpha_{w\,45}=\frac{1}{2}\,.\,\sqrt{(3-5\,.\,2)+\sqrt{21\,.\,4+6\,.\,2+9}}         =\frac{1}{2}\,.\,\sqrt{(-7)+\sqrt{105}}=\frac{1}{2}\,.\,\sqrt{3,24695}         =0,90096473      \alpha_{w\,45}=64^{\circ}\,17'\,6,6''. Dieser Wert ist in Fig. 13 eingetragen, und man könnte jetzt auch leicht die Neigung der Wendetangente bestimmen; da dies jedoch an dieser Stelle keine besondere praktische Beideutung hat, so wollen wir vorläufig davon absehen. Wenn man die Lage der Wendepunkte für verschiedene Werte von φ aus der Gleichung 56 mit Benutzung der Gleichung 48 berechnet, dann erhält man folgende Uebersicht: Tabelle 3. Wendepunkte der Ueberhöhungsrampe. (Gleichung 56.) φ° B=\mbox{tang}^2\,\varphi +1=\frac{1}{\mbox{cos}^2\,\varphi} B 2 sin aw aw° 45° 2,000000 4,000000 0,90096475 64° 17' 6,6'' 50° 2420277 5,857741 0,8665661 60° 3' 43,3'' 55° 3,039607 9,239209 0,8180479 54° 53' 23,4'' 60° 4,000000 16,000000 0,74319745 48° 0' 16,2'' 65° 5,598911 31,347806 0,6082576 37° 27' 49,05'' 70° 8,548631 73,079095 0,2200619 12° 42' 45,7'' 70° 31' 43,6'' 9,000000 81,000000 0 0 75° 1492820 – imaginär imaginär 80° 33,16343 – imaginär imaginär 85° 131,6461 – imaginär imaginär 90° ∞ ∞ – – Die Ergebnisse der vorstehenden Tabelle sind in der Fig. 14 graphisch dargestellt und man erkennt, daß die Ueberhöhungsrampe für flachere Bögen, als sie dem Winkel φ = 70° 31' 43,6'' entsprechen, überhaupt keinen reellen Wendepunkt innerhalb der hier in Betracht kommenden Grenzen besitzt. Dieser Umstand kann aber der Sinuslinie kaum als Vorwurf angerechnet werden, weil ja gerade bei den flachen Gleisbögen die Ueberhöhung an und für sich nur gering ist, so daß die Ueberhöhungsrampe ohnehin nur sanft ansteigen kann; die Knickpunkte, welche das Längenprofil der Ueberhöhungsrampe in den Bogenanfängen zeigt, können aber auch hier nur von sehr geringem störenden Einfluß sein, bezw. durch eine flache Ausrundung ganz leicht vollkommen unschädlich gemacht werden. Textabbildung Bd. 325, S. 618 Fig. 14. Einen sehr guten Einblick in die Steigungsverhältnisse der Ueberhöhungsrampe erhält man durch die Berechnung der Steigung Z0 ‰ im Bogenanfang A, der mittleren Steigung Z0 ‰ von A bis E (also für den ganzen Verlauf der Ueberhöhungsrampe) und der größten Steigung Zmax ‰ welche im Wendepunkt des Längenprofiles herrscht. Diesen Steigungen entsprechen die Winkel σ0, σm und σmax (Fig. 13), und es ist hierzu nur noch zu erwähnen, daß die größte Steigung Zmax für die Werte φ° = 70° 31' 43,6'' bis φ = 90° zusammenfällt mit der Steigung Z0 im Bogenanfang, weil für die genannten Werte von φ° die Ueberhöhungsrampe überhaupt keinen Wendepunkt mehr besitzt (innerhalb der Grenzen α = 0 und α = π/2), wie aus der Tab. 3 hervorgeht. Um den Steigungswinkel a zunächst allgemein für einen beliebigen Punkt M' der Ueberhöhungsrampe zu berechnen, haben wir zu bedenken, daß (vergl. Fig. 15): \mbox{tang}\,\sigma=\frac{d\,H_M}{d\,x} . . . . . . 57) Wegen HM= K ∙ HE 46) und x=\frac{2\,.\,\alpha\,.\,l}{\pi} 31) erhält man daher: \mbox{tang}\,\sigma=\frac{\pi}{2}\,.\,\frac{H_E}{l}\,.\,\frac{d\,K}{d\,\alpha} . . . 58) Dabei ist: k=\frac{A\,.\,\mbox{sin}\,\alpha}{(B-\mbox{sin}^2\,\alpha)^{3/2}} . . . . 47) \frac{d\,K}{d\,\alpha}=A\,.\,\mbox{cos}\,\alpha\,.\,\frac{B+2\,.\,\mbox{sin}^2\,\alpha}{(B-\mbox{sin}^2\,\alpha)^{5/2}} . . 51) und \left{{A=\mbox{tang}^3\,\varphi}\atop{B=\frac{1}{\mbox{cos}^2\,\varphi}}}\right\}\ .\ .\ .\ 48) Für den Bogenanfang A' ist jetzt α = 0 zu setzen, für den Scheitel E' ist α = π/2 und für den Wendepunkt W' ist α = αW (Gleichung 56, Tabelle 3). Man erhält also: Textabbildung Bd. 325, S. 619 Fig. 15. 1. für den Bogenanfang (Punkt A' in Fig. 15): \left\mbox{tang}\,\sigma_0=\frac{\pi}{2}\,.\,\frac{H_E}{l}\,.\,\frac{d\,K}{d\,\alpha}\right|_{\mbox{für }\alpha=0} . . 59) Nach Gleichung 54 ergibt sich aber: \frac{d\,K}{d\,\alpha}\left|_{\mbox{für }\alpha=0}=\mbox{sin}^3\,\varphi\right . . . . 54) so daß man erhält: \mbox{tang}\,\sigma_0=\frac{\pi}{2}\,.\,\frac{H_E}{l}\,.\,\mbox{sin}^3\,\varphi . . . 60) 2. für den Scheitel (Punkt E' in Fig. 15): \left\mbox{tang}\,\sigma_E=\frac{\pi}{2}\,.\,\frac{H_E}{l}\,.\,\frac{d\,K}{d\,\alpha}\right|_{\mbox{für }\alpha=\pi/2}=0 . 61) Die mittlere Steigung zwischen A und E wird: \mbox{tang}\,\sigma_m=\frac{H_E}{l} . . . . . . 62) 3. für den Wendepunkt (Punkt W' in Fig. 15): \left\mbox{tang}\,\sigma_{max}=\frac{\pi}{2}\,.\,\frac{H_E}{l}\,.\,\frac{d\,K}{d\,\alpha}\right|_{\mbox{für }\alpha=\alpha_W} . . 63) Dabei ist αW mit Hilfe der Gleichung 56 zu berechnen; einige dieser Werte sind in der Tab. 3 und in der Fig. 14 eingetragen. Gemäß der Gleichung 51 erhält man also: \mbox{tang}\,\sigma_{max}=\frac{\pi}{2}\,.\,\frac{H_E}{l}\,.\,A\,.\,\mbox{cos}\,\alpha_W\,.\,\frac{B+2\,\mbox{sin}^2\,\alpha_W}{(B-sin^2\,\alpha_W)^{5/2}} 64) Da die Steigung gewöhnlich nicht als Tangente des Neigungswinkels σ, sondern in der Form Z ‰ ausgedrückt wird, müssen wir noch die entsprechenden Beziehungen ableiten. Es wird also die Steigung Z0, Zm und Zmax für 1000 m Horizontalabstand zu berechnen sein, wie folgt: tang σ = Z : 1000 . . . . . 65) Man findet also: 1. für den Bogenanfang (Punkt A' in Fig. 15): tang σ0 = Z0 : 1000 . . . . 66) 2. für den Scheitel (Punkt E' in Fig. 15): tang σm = Zm : 1000 . . . . 67) 3. für den Wendepunkt (Punkt W' in Fig. 15): tang σmax = Zmax ∙ 1000 . . . . 68) Daher wird: \frac{Z_0}{1000}=Z_0\,‰\,=\frac{\pi}{2}\,.\,\frac{H_E}{l}\,.\,\mbox{sin}^3\,\varphi . . 69) \frac{Z_m}{1000}=Z_m\,‰\,=\frac{H_E}{l} . . . . . 70) \frac{Z_{max}}{1000}=Z_{max}\,‰=\frac{\pi}{2}\,.\,\frac{H_E}{l}\,.\,A\,.\,\mbox{cos}\,\alpha_W\,.\,\frac{B+2\,.\,\mbox{sin}^2\,\alpha_W}{(B-\mbox{sin}^2\,\alpha_W)^{5/2}} 71) Man gelangt daher zu folgender Hilfstabeile (4) für die Berechnung der Steigung der Ueberhöhungsrampe. Tabelle 4. φ° aw°(Tab. 3) m_0=\frac{Z^0}{1000}.\,\frac{l}{H_E}Gleichung 69 m_m=\frac{Z_m}{1000} .\,\frac{l}{H_E} m_{max}=\frac{Z_{max}}{1000} .\,\frac{l}{H_E} 45° 64° 17' 6,6'' 0,555360 1 1,604523 50° 60° 3' 43,3'' 0,706125 1 1,445428 55° 54° 53' 23,4'' 0,863403 1 1,331808 60° 48° 0' 16,2'' 1,020262 1 1,263087 65° 37° 27' 49,05'' 1,169357 1 1,246693 70° 12° 42' 45,7'' 1,303399 1 1,304245 70° 31' 43,6'' 0 1,316410 1 1,316409 75° imaginär 1,415635 1 – 80° imaginär 1,500287 1 – 85° imaginär 1,552932 1 – 90° – 1,570796 1 – Diese Hilfswerte Z/1000 ∙ l/HE (für Z0, Zm und Zmax) sind in der Fig. 16 eingetragen, um auch eine angenäherte Berechnung der Zwischenwerte rasch durchführen zu können. Bezeichnet man diese Hilfswerte zur Abkürzung mit: m_0=\frac{Z_0}{1000}\,.\,\frac{l}{H_E}    m_m=\frac{Z_m}{1000}\,.\,\frac{l}{H_E}    m_{max}=\frac{Z_{max}}{1000}\,.\,\frac{l}{H_E}  72) dann kann man mit Hilfe der bereits früher abgeleiteten Beziehungen: l=\frac{\pi}{2\,.\,\mbox{tang}\,\varphi}\,.\,R (wobei hier R = RE ist) 25) H_E=\frac{s\,.\,v^2}{g}\,.\,\frac{l}{R_E}=\frac{0,0118\,.\,V^2}{R_E} (für Normalspur) . 45) folgende Gleichungen entwickeln, wobei zunächst anstelle der speziellen Werte Z0 Zm Zmax und m0 mm mmax die allgemeinen Werte Z und m benutzt werden sollen: m=\frac{Z}{1000}\,.\,\frac{l}{H_E}=\frac{Z}{1000}\,.\,\frac{\pi\,.\,{R_E}^2}{2\,.\,\mbox{tang}\,\varphi\,.\,0,0118\,V^2} 73) \frac{0,0118\,.\,V^2}{\left(\frac{Z}{1000}\right)}\,.\,m=C\,.\,m=\frac{\pi}{2}\,.\,\frac{{R_E}^2}{\mbox{tang}\,\varphi} . 74) Die Konstante C, welche für Normalspur nur von der Fahrgeschwindigkeit V km i. d. Stunde und von der Steigung Z ‰ in der Ueberhöhungsrampe abhängt, hat gewöhnlich die Werte 6000 (für Lokalbahnen), 12000 (für Hauptbahnen) oder 24000 (für Schnellzugstrecken)Vergl. Max Edler, von Leber, Verordn.-Blatt des K. K. österr. Handelsministeriums für Eisenbahnen und Schiffahrt 1890, III. Jahrgang, Nr. 102, Seite 1554–1555.; dabei ist vorausgesetzt, daß der Gleisbogen aus einem Kreisbogen und zwei Uebergangskurven besteht. Wenn man nun die Formeln der obigen Theorie für die Zwecke der praktischen Berechnung anwenden will, dann kommt man unter Umständen (besonders für hohe Fahrgeschwindigkeiten) zu ganz unzulässigen Werten der Schienenüberhöhung HE im Scheitel E des Gleisbogens; der Grund dafür ist darin zu suchen, daß in den Formeln der Umstand nicht zum Ausdruck kommt, daß die Schienenüberhöhung einen gewissen Maximalwert nicht überschreiten darf.Vergl.: Die Eisenbahntechnik der Gegenwart, 2. Band, 2. Abschnitt, 2. Auflage 1908, Seite 151; Wiesbaden, Verlag Kreidel. Textabbildung Bd. 325, S. 620 Fig. 16. (Schluß folgt.)