Ueber Polytropen-Konstruktionen. Von Prof. Dr. techn. Emil Wellner, Brünn. (Schluß.) WELLNER, Ueber Polytropen-Konstruktionen. Natürlich ist es in einem konkreten Falle nicht notwendig, die ganze Reihe einzutragen, sondern man sucht nur den dem Polytropen-Exponenten entsprechenden Teilpunkt auf. Wäre hierfür eine weitgehendere Unterteilung erforderlich, müßte ein dies berücksichtigender Proportionalwinkel eingetragen werden. In der Abbildung ist dies durch den Richtstrahl O E angedeutet, der der Reihe mit m = 32 entsprechen würde, und ist mit diesem beispielsweise in der Vertikalen durch b1 der Teilpunkt für n = 13/32 = 0,406 festgelegt. Die Schnittpunkte der Vertikalen durch das auf diese Art bestimmte αn mit den betreffenden Diagonalen der Mariotte-Konstruktion vom Punkte P0 aus, liefern dann den gesuchten Kurvenpunkt. In Abbildung 6 fänden sich so mit der Vertikalen durch b1 die Punkte P1,406, P0,406, P–0,594. Sind in dieser Weise zwei Punke P0 und P bestimmt, wird es zum Einzeichnen der Kurve meist notwendig werden, Zwischenpunkte aufzusuchen; ein Fall, der auch eintritt, wenn durch zwei beliebig gegebene Punkte die zugehörige Polytrope zu legen wäre. In Abbildung 7 wären sonach die Punkte P0 und P als gegeben zu betrachten1)In der Abbildung entsprechen die beiden Punkte einer Polytrope mit dem Exponenten n = 1,25. Der Endpunkt P wurde, wie ersichtlich, von P0 aus über Punkt I gefunden. und sollten etwa l = 3

Abb. 7.

Zwischenpunkte A, B, C aufgesucht werden. Hierzu wird sowohl das Volums- als auch das Druckintervall durch je m = 1 + 1 =4 in geometrischer Reihe liegende Teile unterteilt, was nach Früherem mit den beiden Halb kreisen über p0 und v durchgeführt, die zwei Punktreihen 0, ¼, ½, ¾ 1 liefert. Die gesuchten Punkte A, B, C liegen dann im Schnitte der Koordinatenlinien jener Teilpunkte, deren Summe nach der Beschreibungsweise der Figur die die Einheit ergibt. Die Richtigkeit der Konstruktion folgt etwa für Punkt A aus den Ansätzen $$\frac{p_0}{p_A}-\frac{p_A}{p_B}=....={\left(\frac{p_0}{p}\right)}^{\frac{1}{m}}$$ und $$\frac{v_A}{v_0}=\frac{v_B}{v_A}=...{\left(\frac{v}{v_0}\right)}^{\frac{1}{m}}$$ deren Vereinigung zu $$p_A{v_A}^n=p_0{v_0}^n{\left(\frac{p.v^n}{p_0{v_0}^n}\right)}^{\frac{1}{m}}=p_0{v_0}^n$$ führt. Außerhalb des Intervalles P0-P gelegene Kurvenpunkte können durch sinngemäße Fortsetzung der Bogenprojektionen bestimmt werden, wie für Punkt P' angedeutet ist.

Abb. 8.

Häufig liegen die Verhältnisse so, daß außer dem Anfangspunkte P0 (p0 v0) der Enddruck p gegeben ist. Die Betrachtungen laufen dann ganz parallel zu den eben besprochenen und sollen daher nur kurz an Hand der Abb. 8 gestreift werden. Es sind dort zunächst, wie in Abb. 3, für den Enddruck p die Volumina v1, v½ etc. aufgesucht; zieht man einen Zwischendruck βn erhält man mittels der Schnittpunkte 1, 2 . . etc. die Polytropenpunkte n und m entsprechend den Gleichungen $$\frac{p_0}{p}={\left(\frac{v_x}{v_0}\right)}^n$$und $$\frac{p_0}{p}={\left(\frac{v_x}{v_0}\right)}^m$$ oder $$\frac{v_x}{v_0}={\left(\frac{p_0}{p}\right)}^{\frac{1}{n}}$$ . . . . . . . . . . 9 und $$\frac{v_y}{v^0}={\left(\frac{p_0}{p}\right)}^{\frac{1}{m}}$$ . . . . . . . . . 10 Nun besteht auch die Konstruktionsbedingung $$\frac{{\beta }_n}{p_0}=\frac{v_x}{v_1}=\frac{v_y}{v_{1/2}}$$ woraus entsprechend der strichliert angedeuteten Mariotte-Konstruktion $$\frac{v_y}{v_x}=\frac{v_{1/2}}{v_1}=\frac{v_1}{v_0}=\frac{p_0}{p}$$ . . . . . 11 folgt. Durch Verbindung der Gleichungen 11 mit 9 erhält man schließlich $$\frac{v_y}{v_0}={\left(\frac{p_0}{p}\right)}^{\frac{1}{n}}+1$$ . . . . . . . . 12 und daher mit Gleichung 10 $$\frac{1}{m}=\frac{1}{n}+1$$ . . . . . . .  . . 13 oder in der abgeänderten Schreibart für die reziproken Exponentenwerte m' = n' + 1 . . . . . . . . . . 14 etc. Um nun einen Kurvenpunkt gemäß einem bestimmten Exponenten n zu erhalten, ist die Höhenlage von βn entsprechend der Bestimmungsgleichung $$\frac{{\beta }_n}{p}=\frac{v_x}{v_0}={\left(\frac{p_0}{p}\right)}^{\frac{1}{n}}$$ oder $${\beta }_n=p{\left(\frac{p_0}{p}\right)}^{\frac{1}{n}}$$ festzulegen, was mit der Abkürzung $$\frac{p_0}{p}=b$$ analog der früheren Gleichung 6 βn = p . bn' . . . . . 15 als Konstruktionsbedingung ergibt. Es ist sonach die Teilung des Druckintervalles p0 bis p nach geometrischer Progression in derselben Weise vorzunehmen, wie dies an Hand der Abb. 6 besprochen wurde. Ebenso ist das weitere Verzeichnen der Kurve, wie Abb. 9 beispiels weise für n = 1,33 an einer Kompression von P0 aus zeigt, ganz im Sinne der Abb. 7 durchzuführen.

Abb. 9.

Es ist zunächst die Diagonale O A zu ziehen und mit der Horizontalen durch den Teilpunkt ¾ des Druckintervalles entsprechend $$\frac{1}{n}=\frac{3}{4}$$, zum Schnitt bringen, was Punkt I und durch Vertikalprojektion Punkt P ergibt, worauf die Zwischenpunkte wie früher bestimmt wurden. Die Konstruktion ist ebenfalls bei positiven oder negativen Exponentenwerten für p ≷ p0 anwendbar. Allerdings fallen die Abstufungen der konstruierbaren Exponentenwerte hier ungleich aus, da gemäß Gleichung 15 in der geometrischen Reihe die Reziprokwerte der Kurvenexponenten auftreten, und ist daher in dieser Beziehung der erste Fall mit gegebenem Endvolumen für die Anwendung günstiger. Im allgemeinen hat die hier besprochene, verhältnismäßig einfach und rasch zum Ziele führende Konstrukion den Nachteil, daß Kurven mit beliebig gewählten Exponenten n nicht dargestellt werden können, sondern solange man etwa einen Kurvenpunkt auf einem vorher angenommenen Endvolumen erhalten will, nur Abstufungen des Wertes n um je ⅛, 1/16, 1/32 . . . möglich sind. Es dürfte dieser Umstand bei den meisten Anwendungsgebieten wohl nicht sehr in die Wage fallen, zumal sich die Adiabate mit n = 1 + 13/32 = 1,406 gut einreihen läßt und man mit der Annahme des Exponenten für andere Polytropen innerhalb dieser kleinen Schwankungen meist ziemlich freie Wahl hat. Immerhin wäre es wünschenswert, auch eine andere Abstufung, etwa nach der dekadischen Zahlenreihe zu erzielen. Dies ist dann möglich, wenn wir die Bedingung fallen lassen, einen Kurvenpunkt an einer bestimmten Ordinate erhalten zu wollen, und uns damit begnügen, die Kurve von einem Anfangspunkte P0 aus zu konstruieren.

Abb. 10.

In Abbildung 10 ist der in diesem Falle einzuschlagende Weg dargestellt; von dem Anfangspunkte P0 ausgehend, ist mit einem beliebig gewählten Winkel β eine geometrische Volumsreihe eingetragen und nach einer willkürlichen Anzahl m der Glieder abgebrochen; bezeichnen wir dann diesen Endpunkt als das Endvolumen v, besteht nach Gleichung 8 wieder der Zusammenhang $$cos\beta ={\left(\frac{v_0}{v}\right)}^{\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{m}}$$ und ebenso ergeben die Schnittpunkte B und C der Vertikalen durch die Teilpunkte $$\frac{1}{m}$$ beziehungsweise $$\frac{1}{2m}$$ mit dem über v geschlagenen Halbkreise die Richtungen β1 und β2 entsprechend den Beziehungen $$cos\,\beta_1=a^{\frac{1}{2\,m}} und cos\,\beta_2=a^{\frac{1}{4\,m}}$$ Würde nun, wie in der Abbildung m = 5 gewählt, erzielen wir Abstufungen nach der dekadischen Zahlenreihe, was mit den Winkeln β1 und β2 die Konstruktion für Exponentenwerte, die je um 0,1 beziehungsweise 0,05 ansteigen, gestattet. In Abbildung 10 sind die Kurvenpunkte für n = 1,35 und 1,40 eingetragen. Die Wahl des im übrigen, wie erwähnt, ganz willkürlichen Winkels ist hierbei leicht so zu treffen, daß wir mit m (hier also fünf) Bogenprojektionen dem etwa gewünschten Endvolumen möglichst nahe kommen. Das weitere Verzeichnen der Kurve bleibt nach Abbildung? vollkommen aufrecht. Wenn wir auf die thermodynamische Bedeutung der Polytrogen als Expansions- und Kompressionskurven zurückgehen, wird die Größe der bei derartigen Zustandsänderungen geleisteten oder verbrauchten mechanischen Arbeit, von besonderem Interesse sein. Sie findet bekanntlich ihren mathematischen Ausdruck in der Gleichung $$L=\underset{v_1}{\overset{v_2}{\int }}pdv$$ . . . . . . . . . . 16 und ist sonach durch die Fläche, die von der Kurve, den beiden Randordinaten und der Abzissenachse begrenzt wird, veranschaulicht. Die Ausmittlung derartiger Größen birgt immer eine gewisse Umständlichkeit in sich, und es wird oft schwer, solche Werte abzuschätzen oder gegeneinander abzuwägen. Manche Untersuchungen, bei denen von diesen Größen als gegeben auszugehen wäre, können sogar überhaupt nicht oder bloß versuchsweise grafisch gelöst werden. Diese Umstände führten auf dem analogen Felde der Wärmediagramme zu den Bestrebungen, derartige Flächenwerte in linearer Weise durch Strecken darzustellen, und ein ähnlicher Vorgang wird auch bei der mechanischen Arbeit in vielen Fällen von Vorteil sein. Die Verbindung der Gleichung 1 mit Gleichung 16 gibt die Arbeitsgleichung der Polytropen in der bekannten Form $$L=\frac{1}{n-1}(p_1{v}_1-p_2{v}_2)$$ . . . 17 Gleichung 17 kann als Grundlage zur Ermittlung des Arbeitsbetrages bei gegebenem Anfangs- und Endzustande herangezogen werden; man hat lediglich die Differenz Δ p v = p1 v1 – p2 v2 im Verhältnisse $$\frac{1}{n-1}$$ zu vergrößern, um den gesuchten Ausdruck zu erhalten. Hierzu sind in Abb. 11 in $$\overline{Oa}$$ und $$\overline{Ob}$$ je die Einheit aufgetragen (zur Ersparung von Konstruktionslinien ist es günstig, diese gleich v1 zu wählen) und mittels der Mariotte-Konstruktionen die Produkte p v als Strecken O d beziehungsweise O e dargestellt, wodurch Strecke

Abb. 11.

d e = Δ p v wird. Trägt man nun O c = n – 1 in die Abbildung ein, und zieht von dem dem Endzustande entsprechenden Punkte e den Strahl e f || a c ergibt sich in Strecke d f der gesuchte Arbeitsbetrag. Hierzu läßt sich nun noch die für die meisten Anwendungsgebiete erwünschte Größe p1, der mittlere indizierte Druck, einfach bestimmen, da die beiden Werte durch die Beziehung L = p1 (v2 – v1) = p1 v zusammenhängen. Ueberträgt man v nach O g und L nach O h, ergibt die Parallelverschiebung H i || g b in Strecke O i diesen Wert. Hiebei ist zu bemerken, daß der Maßstab der mechanischen Arbeit für die Ermittlung von p1 ganz belanglos geblieben ist. Zu seiner Bestimmung kann beispielsweise der Wert p1 v1 berechnet und mit O d verglichen, oder direkt die Arbeitseinheit für die Fläche Druckeinheit X Volumseinheit ermittelt werden. Das Vorzeichen der Größe L, das nur den Richtungssinn des Durchlaufens der Zustandsänderungen, nicht aber den Absolutbetrag der Arbeit zum Ausdruck bringt, kommt in der Konstruktion dadurch zur Geltung, daß im Falle einer negativen Arbeit die Strecke d f rechts von der Ordinatenachse zu liegen kommt. Liegt die Aufgabe in der Form vor, daß zu einem gegebenen Betrag L die diesem Werte entsprechende Erstreckung der Polytrope – also der Endpunkt P2 (p2 v2) – zu bestimmen wäre, führt die Umkehrung des eben besprochenen Vorganges gleichfalls zum Ziele. In Abb. 12 ist in Strecke a b die gegebene Arbeit eingetragen und hierbei der Maßstab derart gewählt, daß Strecke O a dem Arbeitswerte p1 v1 entsprechen würde, was O c als Einheit ergibt. Zieht man nun wieder bd || ce, wobei O e = n – 1

Abb. 12.

eingetragen wurde, erhält man in Strecke O d den Wert p2 v2. Da dieser der Temperaturgröße der Dörfelschen Charakteristik entspricht, kann letztere entweder unmittelbar vom Punkt P1 als Polytrope mit dem Exponenten (n – 1) bis zum Schnittpunkte A mit der Horizontalen durch Punkt d gezeichnet werden, oder aus der Polytrope mit dem Exponenten n mittels der Mariotte-Konstruktion zurückermittelt werden. Man erhält dann in der Vertikalen durch Punkt A den der geleisteten Arbeit L entsprechenden Abschluß der Kurve in Punkt P2. Es sei hierzu bemerkt, daß die Konstruktion äußerst sorgfältig durchgeführt werden muß, um nicht zu erheblichen Zeichenfehlern zu gelangen. Insbesondere gilt dies für Kurven mit solchen Exponentenwerten, die der Isotherme nahe benachbart liegen, da für diesen Fall Gleichung 17 einen unbestimmten Wert annimmt. Die Größen Δ pv fallen bei nicht zu kleinen Volumsintervallen v2 – v1 noch für nahe der Einheit gelegene Exponenten (z.B. n = 1,1) gut meßbar aus, nur empfiehlt es sich dann, die Vergrößerung mit $$\frac{1}{n-1}$$ rechnerisch durchzuführen, da die graphische Multiplikation unvermeidliche Fehler mit sich bringt. Die Expansions- und Kompressionskurven der praktischen Anwendungsbereiche liegen von diesen Gebieten weit ab, so daß diese Grenzfälle nur vereinzelt vorkommen dürften. Was nun den singulären Fall der Isotherme anlangt, versagt Gleichung 17 den Dienst, und es muß auf den wahren Wert zurückgegriffen werden, der aus Gleichung 1 und 16 für die Arbeit, wie bekannt, den Ausdruck $$L=p_1{v}_1{l}_n\frac{p_1}{p_2}$$ . . . . . . . . 18 ergibt. Für die graphische Auswertung dieser Gleichung bedeutet der natürliche Logarithmus gewisse Schwierigkeiten, die zu beheben man entweder eine logarithmische Kurve benutzen, oder, wie in Abbildung 13, sich der Teilungen eines logarithmischen Rechenschiebers bedienen kann. In der Abbildung ist zunächst zu dem Anfangspunkte P1 mit der beliebig gewählten Einheit eines auf der Abzissenachse aufgetragenen Maßstabes in Strecke O b = 1 a die Größe p1 . v1 aufgesucht. Bestimmt man sich nun das Druckverhältnis $$\frac{p_1}{p_2}$$ durch Ziehen der Geraden c e || d 1 in der Größe O e, deren Maßzahl an dem Abzissenmaßstabe abzulesen ist, so ist hierzu der natürliche Logarithmus aufzusuchen. Um dies durchzuführen, sei daran erinnert, daß die natürlichen und Briggschen Logarithmen einander proportional verlaufen. Wird also ein für allemal z.B. der ln 10 = 2,3026 . . . auf dem Abzissenmaßstabe im Punkte f fixiert, und von dem Rechenschieber mit dem Zirkel die dem log 10 entsprechende Größe abgegriffen und in O g aufgetragen, erhält man in f g die Proportionalitätsgerade; überträgt man nun von derselben Skala des Schiebers den Logarithmus entsprechend der Maßzahl von

Abb. 13.

$$\frac{p_1}{p_2}$$ nach O h, ergibt sich mit h i || f g in Strecke O i der gesuchte $$l_n\frac{p_1}{p_2}$$. Wird nun noch die Einheit nach O k umgeklappt, liefert die Parallelverschiebung b l || k i in O l den gesuchten Arbeitswert L. Die Festlegung des Arbeitsmaßstabes sowie die Ermittlung des mittleren indizierten Druckes p1 erfolgt dann in der gleichen Art wie früher, und ist letzteres in der Abbildung angedeutet; die Konstruktion ist direkt umkehrbar, es kann also bei gegebenem L der Endpunkt P2 der Isotherme auf die gleiche Art ermittelt werden. Wie die Darlegungen zeigen, läßt sich bei Polytropen die mechanische Arbeit in linearer Form leicht darstellen und dürfte vornehmlich das Eintragen von p1 bei Diagrammausmittlungen unter Vermeidung einer Flächenausmessung, von Nutzen sein. Es sei hierzu bemerkt, daß der Kurvenverlauf hierzu gar nicht erforderlich, sondern dem Bau der Gleichungen entsprechend nur Anfangs- und Endzustand bekannt sein müssen.